微积分学示例

$\int_{0}^{2} (4 x + 5) e^{- x} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = 4 x + 5$ ， $d v = e^{- x}$ 。

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} - e^{- x} \cdot 4 d x$

解题步骤 2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} - 4 e^{- x} d x$

解题步骤 3

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - (- 4 \int_{0}^{2} e^{- x} d x)$

解题步骤 4

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 \int_{0}^{2} e^{- x} d x$

解题步骤 5

使 $u = - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $- x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 5.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u = - x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - 0$

解题步骤 5.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u = - x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

解题步骤 5.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$u_{upper} = - 2$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

解题步骤 5.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

解题步骤 7

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - 4 \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

解题步骤 8

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - 4 (e^{u}]_{0}^{- 2})$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $(4 x + 5) (- e^{- x})$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$((4 \cdot 2 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2})) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 (e^{u}]_{0}^{- 2})$

解题步骤 9.2

计算 $e^{u}$ 在 $- 2$ 处和在 $0$ 处的值。

$((4 \cdot 2 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2})) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$(8 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 9.3.2

将 $8$ 和 $5$ 相加。

$13 (- e^{- 1 \cdot 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 9.3.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$13 (- e^{- 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 9.3.4

将 $- 1$ 乘以 $13$ 。

$- 13 e^{- 2} - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 9.3.5

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$- 13 e^{- 2} - (0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 9.3.6

将 $0$ 和 $5$ 相加。

$- 13 e^{- 2} - 1 \cdot 5 (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 9.3.7

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- 13 e^{- 2} - 5 (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 9.3.8

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- 13 e^{- 2} - 5 (- e^{0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 9.3.9

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- 13 e^{- 2} - 5 (- 1 \cdot 1) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 9.3.10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 13 e^{- 2} - 5 \cdot - 1 - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 9.3.11

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

解题步骤 9.3.12

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 9.3.13

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简每一项。

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解题步骤 10.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 13 \frac{1}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

解题步骤 10.1.2

组合 $- 13$ 和 $\frac{1}{e^{2}}$ 。

$\frac{- 13}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

解题步骤 10.1.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

解题步骤 10.1.4

运用分配律。

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 e^{- 2} - 4 \cdot - 1$

解题步骤 10.1.5

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 e^{- 2} + 4$

解题步骤 10.2

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 \frac{1}{e^{2}} + 4$

解题步骤 10.2.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{e^{2}}$ 。

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 + \frac{- 4}{e^{2}} + 4$

解题步骤 10.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - \frac{4}{e^{2}} + 4$

解题步骤 10.3

在公分母上合并分子。

$5 + 4 + \frac{- 13 - 4}{e^{2}}$

解题步骤 10.4

从 $- 13$ 中减去 $4$ 。

$5 + 4 + \frac{- 17}{e^{2}}$

解题步骤 10.5

将负号移到分数的前面。

$5 + 4 - \frac{17}{e^{2}}$

解题步骤 10.6

将 $5$ 和 $4$ 相加。

$9 - \frac{17}{e^{2}}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$9 - \frac{17}{e^{2}}$

小数形式：

$6.69930018 \dots$

解题步骤 12

微积分学 示例

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