微积分学示例

$\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{3}} d x$

解题步骤 1

将积分表示为 $t$ 趋于 $\infty$ 时的极限。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x^{2} e^{- x^{3}} d x$

解题步骤 2

使 $u_{2} = e^{- x^{3}}$ 。然后使 $d u_{2} = - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$ ，以便 $- \frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{- x^{3}} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{2} = e^{- x^{3}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $e^{- x^{3}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{3}}]$

解题步骤 2.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{3}$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- x^{3}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 2.1.2.3

使用 $- x^{3}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{- x^{3}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

解题步骤 2.1.3

求微分。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$e^{- x^{3}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$e^{- x^{3}} (- (3 x^{2}))$

解题步骤 2.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$

解题步骤 2.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.4.1

重新排序 $e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$ 的因式。

$- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$

解题步骤 2.1.4.2

将 $- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$- 3 x^{2} e^{- x^{3}}$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u_{2} = e^{- x^{3}}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = e^{- 0^{3}}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = e^{- 0}$

解题步骤 2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = e^{0}$

解题步骤 2.3.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u_{2} = e^{- x^{3}}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = e^{- t^{3}}$

解题步骤 2.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{- t^{3}}$

解题步骤 2.6

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{3}}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

解题步骤 3

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{3}}} - \frac{1}{3} d u_{2}$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{e^{- t^{3}}}$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $- \frac{1}{3} u_{2}$ 在 $e^{- t^{3}}$ 处和在 $1$ 处的值。

$lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{3} e^{- t^{3}}) + \frac{1}{3} \cdot 1$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

组合 $e^{- t^{3}}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1$

解题步骤 5.2.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}}}{3} + \frac{1}{3}$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

使用公分母合并分数。

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解题步骤 6.1.1

在公分母上合并分子。

$lim_{t \to \infty} \frac{- e^{- t^{3}} + 1}{3}$

解题步骤 6.1.2

从 $- e^{- t^{3}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}}) + 1}{3}$

解题步骤 6.1.3

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}}) - 1 (- 1)}{3}$

解题步骤 6.1.4

从 $- (e^{- t^{3}}) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 6.1.5

将 $- (e^{- t^{3}} - 1)$ 重写为 $- 1 (e^{- t^{3}} - 1)$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (e^{- t^{3}} - 1)}{3}$

解题步骤 6.1.6

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}} - 1}{3}$

解题步骤 6.2

计算极限值。

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解题步骤 6.2.1

因为项 $- 1$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{3}} - 1}{3}$

解题步骤 6.2.2

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} e^{- t^{3}} - 1$

解题步骤 6.2.3

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- \frac{1}{3} (lim_{t \to \infty} e^{- t^{3}} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 6.3

因为指数 $- t^{3}$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{- t^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$- \frac{1}{3} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 6.4

计算极限值。

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解题步骤 6.4.1

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{3} (0 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 6.4.2

化简答案。

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解题步骤 6.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{3} (0 - 1)$

解题步骤 6.4.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{1}{3} \cdot - 1$

解题步骤 6.4.2.3

乘以 $- \frac{1}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 6.4.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1}{3})$

解题步骤 6.4.2.3.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{3}$

小数形式：

$0.\overline{3}$

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