微积分学示例

$y = \sqrt{5 - 2 e^{3 x}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5 - 2 e^{3 x}}$ 重写成 ${(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 5 - 2 e^{3 x}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $5 - 2 e^{3 x}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

解题步骤 2.3

使用 $5 - 2 e^{3 x}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

解题步骤 7

合并分数。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(5 - 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(5 - 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(5 - 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

解题步骤 7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(5 - 2 e^{3 x})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - 2 e^{3 x}]$

解题步骤 8

根据加法法则， $5 - 2 e^{3 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}]$ 。

$\frac{1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}])$

解题步骤 9

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}])$

解题步骤 10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}]$ 相加。

$\frac{1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 2 e^{3 x}]$

解题步骤 11

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 e^{3 x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ 。

$\frac{1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}])$

解题步骤 12

化简项。

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解题步骤 12.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 2}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

解题步骤 12.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

解题步骤 13

约去公因数。

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解题步骤 13.1

从 $2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 ({(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

解题步骤 13.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

解题步骤 13.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

解题步骤 14

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

解题步骤 15

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 15.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $3 x$ 。

$- \frac{1}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 15.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- \frac{1}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 15.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{1}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

解题步骤 16

求微分。

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解题步骤 16.1

组合 $e^{3 x}$ 和 $\frac{1}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 16.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 16.3

合并分数。

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解题步骤 16.3.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 \frac{e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 16.3.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 3 e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 16.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 16.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{3 e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 16.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3 e^{3 x}}{{(5 - 2 e^{3 x})}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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