微积分学示例

$\int 2 x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- 2 x}$ 。

$2 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

解题步骤 3.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ 。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

解题步骤 3.3

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

解题步骤 5.2

将 $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ 乘以 $1$ 。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

解题步骤 7

使 $u = - 2 x$ 。然后使 $d u = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u = - 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $- 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 7.1.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 7.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

解题步骤 8.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

解题步骤 11.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

解题步骤 12

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

将 $2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ 重写为 $2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ 。

$2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

解题步骤 13.2

化简。

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解题步骤 13.2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

解题步骤 13.2.2

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{x}{2}$ 。

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

解题步骤 13.2.3

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

解题步骤 14

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

运用分配律。

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2}) + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

解题步骤 15.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1

将 $- \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

解题步骤 15.2.2

约去公因数。

$2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

解题步骤 15.2.3

重写表达式。

$- e^{- 2 x} x + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

解题步骤 15.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.3.1

将 $- \frac{e^{- 2 x}}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

解题步骤 15.3.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{2 (2)} + C$

解题步骤 15.3.3

约去公因数。

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 15.3.4

重写表达式。

$- e^{- 2 x} x + \frac{- e^{- 2 x}}{2} + C$

解题步骤 15.4

将负号移到分数的前面。

$- e^{- 2 x} x - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

解题步骤 15.5

用公分母合并 $- e^{- 2 x} x$ 和 $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$ 。

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解题步骤 15.5.1

移动 $e^{- 2 x}$ 。

$- x e^{- 2 x} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

解题步骤 15.5.2

要将 $- x e^{- 2 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- x e^{- 2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

解题步骤 15.5.3

组合 $- x e^{- 2 x}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- x e^{- 2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

解题步骤 15.5.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- x e^{- 2 x} \cdot 2 - e^{- 2 x}}{2} + C$

解题步骤 15.6

化简分子。

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解题步骤 15.6.1

从 $- x e^{- 2 x} \cdot 2 - e^{- 2 x}$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

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解题步骤 15.6.1.1

从 $- x e^{- 2 x} \cdot 2$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) - e^{- 2 x}}{2} + C$

解题步骤 15.6.1.2

从 $- e^{- 2 x}$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 1}{2} + C$

解题步骤 15.6.1.3

从 $e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 1$ 中分解出因数 $e^{- 2 x}$ 。

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2 - 1)}{2} + C$

解题步骤 15.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{2} + C$

解题步骤 15.7

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x) - 1)}{2} + C$

解题步骤 15.8

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x) - 1 (1))}{2} + C$

解题步骤 15.9

从 $- (2 x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x + 1))}{2} + C$

解题步骤 15.10

将 $- (2 x + 1)$ 重写为 $- 1 (2 x + 1)$ 。

$\frac{e^{- 2 x} (- 1 (2 x + 1))}{2} + C$

解题步骤 15.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C$

解题步骤 16

去掉圆括号。

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x + 1) + C$

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