微积分学示例

12 \sum k = 5 {(- 1)}^{k} \cdot 2 k

$\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot 2 k$

解题步骤 1

分解总和使

k

$k$ 的初始值等于

1

$1$ 。

12 \sum k = 5 {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) = 12 \sum k = 1 {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) - 4 \sum k = 1 {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)

$\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) = \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) - \sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$

解题步骤 2

计算

12 \sum k = 1 {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)

$\sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$ 。

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解题步骤 2.1

从总和中因式分解出

2

$2$ 。

(2) 12 \sum k = 1 {(- 1)}^{k} k

$(2) \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} k$

解题步骤 2.2

展开

k

$k$ 每个取值的序列。

{(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + \dots + {(- 1)}^{12} \cdot (2 \cdot 12)

${(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + \dots + {(- 1)}^{12} \cdot (2 \cdot 12)$

解题步骤 2.3

化简展开式。

12

$12$

12

$12$

解题步骤 3

计算

4 \sum k = 1 {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)

$\sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$ 。

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解题步骤 3.1

展开

k

$k$ 每个取值的序列。

{(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

${(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对

- 1

$- 1$ 进行

1

$1$ 次方运算。

- 1 \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 1 \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 3.2.2

将

2

$2$ 乘以

1

$1$ 。

- 1 \cdot 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 1 \cdot 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 3.2.3

将

- 1

$- 1$ 乘以

2

$2$ 。

- 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 3.2.4

对

- 1

$- 1$ 进行

2

$2$ 次方运算。

- 2 + 1 \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 2 + 1 \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 3.2.5

将

2

$2$ 乘以

2

$2$ 。

- 2 + 1 \cdot 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 2 + 1 \cdot 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 3.2.6

将

1

$1$ 乘以

4

$4$ 。

- 2 + 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 2 + 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 3.2.7

将

- 2

$- 2$ 和

4

$4$ 相加。

2 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$2 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 3.2.8

对

- 1

$- 1$ 进行

3

$3$ 次方运算。

2 - 1 \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$2 - 1 \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 3.2.9

将

2

$2$ 乘以

3

$3$ 。

2 - 1 \cdot 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$2 - 1 \cdot 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 3.2.10

将

- 1

$- 1$ 乘以

6

$6$ 。

2 - 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$2 - 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 3.2.11

从

2

$2$ 中减去

6

$6$ 。

- 4 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)

$- 4 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 3.2.12

对

- 1

$- 1$ 进行

4

$4$ 次方运算。

- 4 + 1 \cdot (2 \cdot 4)

$- 4 + 1 \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 3.2.13

将

2

$2$ 乘以

4

$4$ 。

- 4 + 1 \cdot 8

$- 4 + 1 \cdot 8$

解题步骤 3.2.14

将

1

$1$ 乘以

8

$8$ 。

- 4 + 8

$- 4 + 8$

解题步骤 3.2.15

将

- 4

$- 4$ 和

8

$8$ 相加。

4

$4$

4

$4$

4

$4$

解题步骤 4

用求得的值替换总和。

12 - 4

$12 - 4$

解题步骤 5

从

12

$12$ 中减去

4

$4$ 。

8

$8$

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