微积分学示例

$- (x + 1) {(x - 1)}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) ((x - 1) (x - 1))]$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 3.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

解题步骤 3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x + 1)]$

解题步骤 3.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$ 。

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

解题步骤 5

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ 。

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

根据加法法则， $x^{2} - 2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$- ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- ((x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 6.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- ((x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 6.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- ((x + 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 6.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- ((x + 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 6.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- ((x + 1) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 6.7

将 $2 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 6.8

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 6.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 6.10

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0))$

解题步骤 6.11

化简表达式。

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解题步骤 6.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1)$

解题步骤 6.11.2

将 $x^{2} - 2 x + 1$ 乘以 $1$ 。

$- ((x + 1) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x + 1)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$- ((x + 1) (2 x - 2)) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$- ((x + 1) (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 7.4

运用分配律。

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 7.5

运用分配律。

$- (x (2 x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 7.6

合并项。

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解题步骤 7.6.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (2 (x^{1} x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 7.6.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (2 (x^{1} x^{1})) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 7.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- (2 x^{1 + 1}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 7.6.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- (2 x^{2}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 7.6.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x^{2} - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 7.6.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 x^{2} - (2 x) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 7.6.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x^{2} - 2 x - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 7.6.8

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$- 2 x^{2} - 2 x - (- 2 \cdot x) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 7.6.9

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 7.6.10

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 7.6.11

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 7.6.12

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$- 2 x^{2} + 0 + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 7.6.13

将 $- 2 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$- 2 x^{2} + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 7.6.14

从 $- 2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$- 3 x^{2} + 2 - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 7.6.15

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1 \cdot 1$

解题步骤 7.6.16

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1$

解题步骤 7.6.17

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

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