微积分学示例

$y = 3 \sin (\frac{3}{4}) (x + \frac{2 π}{3}) - 5$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

计算 $\sin (\frac{3}{4})$ 。

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 0.68163876 (x + \frac{2 π}{3}) - 5]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $3 \cdot 0.68163876 (x + \frac{2 π}{3}) - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 \cdot 0.68163876 (x + \frac{2 π}{3})] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 \cdot 0.68163876 (x + \frac{2 π}{3})] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 \cdot 0.68163876 (x + \frac{2 π}{3})]$ 。

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解题步骤 1.3.1

将 $3$ 乘以 $0.68163876$ 。

$\frac{d}{d x} [2.04491628 (x + \frac{2 π}{3})] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.3.2

因为 $2.04491628$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2.04491628 (x + \frac{2 π}{3})$ 对 $x$ 的导数是 $2.04491628 \frac{d}{d x} [x + \frac{2 π}{3}]$ 。

$2.04491628 \frac{d}{d x} [x + \frac{2 π}{3}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $x + \frac{2 π}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3}]$ 。

$2.04491628 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3}]) + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2.04491628 (1 + \frac{d}{d x} [\frac{2 π}{3}]) + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.3.5

因为 $\frac{2 π}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 π}{3}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2.04491628 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.3.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2.04491628 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.3.7

将 $2.04491628$ 乘以 $1$ 。

$2.04491628 + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2.04491628 + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $2.04491628$ 和 $0$ 相加。

$2.04491628$

解题步骤 2

因为 $2.04491628$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2.04491628$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$2.04491628 = 0$

解题步骤 4

因为 $2.04491628 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 5

计算在 $x =$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$0$

解题步骤 6

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 6.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 6.2

将区间 $(- \infty, \infty)$ 内的任一数字（例如 $0$ ）代入一阶导数 $2.04491628$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 6.2.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = 2.04491628$

解题步骤 6.2.2

最终答案为 $2.04491628$ 。

$2.04491628$

解题步骤 6.3

对于 $f (x) = 3 \sin (\frac{3}{4}) (x + \frac{2 π}{3}) - 5$ ，不存在局部最大值和最小值。

没有局部最大值或最小值

解题步骤 7

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