微积分学示例

$x^{2} + \sqrt{x}$

解题步骤 1

将 $x^{2} + \sqrt{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{2} + \sqrt{x}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x^{2} + \sqrt{x} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{2} d x + \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 6

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 8

化简。

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = x^{2} + \sqrt{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

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