微积分学示例

$\frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}} d x$

解题步骤 4

使用根数乘积法则进行合并。

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 - x) (1 + x)}} d x$

解题步骤 5

配方。

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解题步骤 5.1

化简表达式。

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解题步骤 5.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 - x) (1 + x)$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

运用分配律。

$1 (1 + x) - x (1 + x)$

解题步骤 5.1.1.2

运用分配律。

$1 \cdot 1 + 1 x - x (1 + x)$

解题步骤 5.1.1.3

运用分配律。

$1 \cdot 1 + 1 x - x \cdot 1 - x \cdot x$

解题步骤 5.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$1 + 1 x - x \cdot 1 - x \cdot x$

解题步骤 5.1.2.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$1 + x - x \cdot 1 - x \cdot x$

解题步骤 5.1.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 + x - x - x \cdot x$

解题步骤 5.1.2.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.1.2.1.4.1

移动 $x$ 。

$1 + x - x - (x \cdot x)$

解题步骤 5.1.2.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$1 + x - x - x^{2}$

解题步骤 5.1.2.2

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$1 + 0 - x^{2}$

解题步骤 5.1.2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1 - x^{2}$

解题步骤 5.1.3

将 $1$ 和 $- x^{2}$ 重新排序。

$- x^{2} + 1$

解题步骤 5.2

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

解题步骤 5.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 5.4

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 5.4.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 5.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 5.4.2.1.2

移动 $\frac{0}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot 0$

解题步骤 5.4.2.2

将 $- 1 \cdot 0$ 重写为 $- 0$ 。

$d = - 0$

解题步骤 5.4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$d = 0$

解题步骤 5.5

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 5.5.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 5.5.2

化简右边。

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解题步骤 5.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 5.5.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

解题步骤 5.5.2.1.3

用 $0$ 除以 $- 4$ 。

$e = 1 - 0$

解题步骤 5.5.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$e = 1 + 0$

解题步骤 5.5.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$e = 1$

解题步骤 5.6

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- {(x + 0)}^{2} + 1$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 1}} d x$

解题步骤 6

使 $u = x + 0$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = x + 0$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $x + 0$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

解题步骤 6.1.2

根据加法法则， $x + 0$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

解题步骤 6.1.4

因为 $0$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 6.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u$

解题步骤 7.2

将 $- u^{2}$ 和 $1^{2}$ 重新排序。

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

解题步骤 8

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ 对 $u$ 的积分为 $\arcsin (u)$

$\arcsin (u) + C$

解题步骤 9

使用 $x + 0$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\arcsin (x + 0) + C$

解题步骤 10

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\arcsin (x) + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\arcsin (x) + C$

微积分学 示例

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