微积分学示例

$\sqrt{x^{2} - 1}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{x^{2} - 1}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sqrt{x^{2} - 1} d x$

解题步骤 4

使 $x = \sec (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sec (t) \tan (t)$ 为正数。

$\int \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

化简 $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ 。

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解题步骤 5.1.1

使用勾股恒等式。

$\int \sqrt{\tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 5.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

解题步骤 5.2.2

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 5.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

解题步骤 5.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 6

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

解题步骤 7

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 的形式。

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

解题步骤 8

化简项。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

解题步骤 8.2

化简每一项。

$\int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 11

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 12

从 $\sec^{3} (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 13

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sec (t)$ ， $d v = \sec^{2} (t)$ 。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 14

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

解题步骤 15

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

解题步骤 17

化简表达式。

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解题步骤 17.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 17.2

将 $\tan^{2} (t)$ 和 $\sec (t)$ 重新排序。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

解题步骤 18

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 的形式。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 19

通过相乘进行化简。

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解题步骤 19.1

将幂重写为乘积形式。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 19.2

运用分配律。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 19.3

将 $\sec (t)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 20

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

解题步骤 21

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 22

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

解题步骤 23

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 24

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

解题步骤 25

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

解题步骤 26

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 27

将单个积分拆分为多个积分。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 28

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 29

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 30

通过相乘进行化简。

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解题步骤 30.1

运用分配律。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 30.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 31

求解 $\int \sec^{3} (t) d t$ ，我们发现 $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ 。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C$

解题步骤 32

将 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ 乘以 $1$ 。

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C$

解题步骤 33

化简。

$- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

解题步骤 34

使用 $arcsec (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$- \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |) + \frac{1}{2} (\sec (arcsec (x)) \tan (arcsec (x)) + \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |)) + C$

解题步骤 35

答案是函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |) + \frac{1}{2} (\sec (arcsec (x)) \tan (arcsec (x)) + \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |)) + C$

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