微积分学示例

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} d x$

解题步骤 1

使 $u_{2} = \cos (2 x)$ 。然后使 $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{2} = \cos (2 x)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\cos (2 x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 \sin (2 x)$

解题步骤 1.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将负号移到分数的前面。

$\int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int - \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 2} d u_{2}$

解题步骤 2.3

将 $2$ 移到 ${u_{2}}^{2}$ 的左侧。

$\int - \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

通过将 ${u_{2}}^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

解题步骤 5.2

将 ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

解题步骤 5.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

解题步骤 6

根据幂法则， ${u_{2}}^{- 2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $- {u_{2}}^{- 1}$ 。

$- \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $- \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ 。

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{u_{2}} + C$

解题步骤 7.2.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u_{2}} + C$

解题步骤 7.2.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$\frac{1}{2 u_{2}} + C$

解题步骤 8

使用 $\cos (2 x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2 \cos (2 x)} + C$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

分离分数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)} + C$

解题步骤 9.2

将 $\frac{1}{\cos (2 x)}$ 转换成 $\sec (2 x)$ 。

$\frac{1}{2} \sec (2 x) + C$

解题步骤 9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sec (2 x)$ 。

$\frac{\sec (2 x)}{2} + C$

解题步骤 9.4

重新排序项。

$\frac{1}{2} \sec (2 x) + C$

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