微积分学示例

$f (x) = - \frac{1}{5} x^{5} - 3 x^{4} - 12 x^{3}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $- \frac{1}{5} x^{5} - 3 x^{4} - 12 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $- \frac{1}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{5} x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- \frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$- 5 (\frac{1}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.2.4

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{- 5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.2.5

组合 $\frac{- 5}{5}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{- 5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.2.6

约去 $- 5$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.2.6.1

从 $- 5 x^{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.1.2.6.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{- x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.2.6.2.4

用 $- x^{4}$ 除以 $1$ 。

$- x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- x^{4} - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- x^{4} - 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$- x^{4} - 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.4.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- x^{4} - 12 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- x^{4} - 12 x^{3} - 12 (3 x^{2})$

解题步骤 1.1.1.4.3

将 $3$ 乘以 $- 12$ 。

$f' (x) = - x^{4} - 12 x^{3} - 36 x^{2}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $- x^{4} - 12 x^{3} - 36 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.2.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.3.3

将 $3$ 乘以 $- 12$ 。

$- 4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.4.1

因为 $- 36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 36 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 4 x^{3} - 36 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 4 x^{3} - 36 x^{2} - 36 (2 x)$

解题步骤 1.1.2.4.3

将 $2$ 乘以 $- 36$ 。

$f'' (x) = - 4 x^{3} - 36 x^{2} - 72 x$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 4 x^{3} - 36 x^{2} - 72 x$ 。

$- 4 x^{3} - 36 x^{2} - 72 x$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 4 x^{3} - 36 x^{2} - 72 x = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- 4 x^{3} - 36 x^{2} - 72 x = 0$

解题步骤 1.2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $- 4 x^{3} - 36 x^{2} - 72 x$ 中分解出因数 $- 4 x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $- 4 x$ 。

$- 4 x \cdot x^{2} - 36 x^{2} - 72 x = 0$

解题步骤 1.2.2.1.2

从 $- 36 x^{2}$ 中分解出因数 $- 4 x$ 。

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x (9 x) - 72 x = 0$

解题步骤 1.2.2.1.3

从 $- 72 x$ 中分解出因数 $- 4 x$ 。

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x (9 x) - 4 x \cdot 18 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.4

从 $- 4 x (x^{2}) - 4 x (9 x)$ 中分解出因数 $- 4 x$ 。

$- 4 x (x^{2} + 9 x) - 4 x \cdot 18 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.5

从 $- 4 x (x^{2} + 9 x) - 4 x (18)$ 中分解出因数 $- 4 x$ 。

$- 4 x (x^{2} + 9 x + 18) = 0$

解题步骤 1.2.2.2

因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 9 x + 18$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $18$ ，和为 $9$ 。

$3, 6$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- 4 x ((x + 3) (x + 6)) = 0$

解题步骤 1.2.2.2.2

去掉多余的括号。

$- 4 x (x + 3) (x + 6) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x + 6 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.5

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 1.2.6

将 $x + 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $x + 6$ 设为等于 $0$ 。

$x + 6 = 0$

解题步骤 1.2.6.2

从等式两边同时减去 $6$ 。

$x = - 6$

解题步骤 1.2.7

最终解为使 $- 4 x (x + 3) (x + 6) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 3, - 6$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, - 6)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 8$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 8) = - 4 {(- 8)}^{3} - 36 {(- 8)}^{2} - 72 \cdot - 8$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $- 8$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 8) = - 4 \cdot - 512 - 36 {(- 8)}^{2} - 72 \cdot - 8$

解题步骤 4.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 512$ 。

$f'' (- 8) = 2048 - 36 {(- 8)}^{2} - 72 \cdot - 8$

解题步骤 4.2.1.3

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 8) = 2048 - 36 \cdot 64 - 72 \cdot - 8$

解题步骤 4.2.1.4

将 $- 36$ 乘以 $64$ 。

$f'' (- 8) = 2048 - 2304 - 72 \cdot - 8$

解题步骤 4.2.1.5

将 $- 72$ 乘以 $- 8$ 。

$f'' (- 8) = 2048 - 2304 + 576$

解题步骤 4.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $2048$ 中减去 $2304$ 。

$f'' (- 8) = - 256 + 576$

解题步骤 4.2.2.2

将 $- 256$ 和 $576$ 相加。

$f'' (- 8) = 320$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $320$ 。

$320$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, - 6)$ 上向上凹，因为 $f'' (- 8)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - 6)$ 上为向上凹

解题步骤 5

将区间 $(- 6, - 3)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 4) = - 4 {(- 4)}^{3} - 36 {(- 4)}^{2} - 72 \cdot - 4$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

通过指数相加将 $- 4$ 乘以 ${(- 4)}^{3}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

将 $- 4$ 乘以 ${(- 4)}^{3}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1.1

对 $- 4$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (- 4) = (- 4) {(- 4)}^{3} - 36 {(- 4)}^{2} - 72 \cdot - 4$

解题步骤 5.2.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (- 4) = {(- 4)}^{1 + 3} - 36 {(- 4)}^{2} - 72 \cdot - 4$

解题步骤 5.2.1.1.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f'' (- 4) = {(- 4)}^{4} - 36 {(- 4)}^{2} - 72 \cdot - 4$

解题步骤 5.2.1.2

对 $- 4$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (- 4) = 256 - 36 {(- 4)}^{2} - 72 \cdot - 4$

解题步骤 5.2.1.3

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 4) = 256 - 36 \cdot 16 - 72 \cdot - 4$

解题步骤 5.2.1.4

将 $- 36$ 乘以 $16$ 。

$f'' (- 4) = 256 - 576 - 72 \cdot - 4$

解题步骤 5.2.1.5

将 $- 72$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (- 4) = 256 - 576 + 288$

解题步骤 5.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $256$ 中减去 $576$ 。

$f'' (- 4) = - 320 + 288$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 320$ 和 $288$ 相加。

$f'' (- 4) = - 32$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 32$ 。

$- 32$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- 6, - 3)$ 上向下凹，因为 $f'' (- 4)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- 6, - 3)$ 上为向下凹

解题步骤 6

将区间 $(- 3, 0)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 2) = - 4 {(- 2)}^{3} - 36 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 2) = - 4 \cdot - 8 - 36 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 8$ 。

$f'' (- 2) = 32 - 36 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2$

解题步骤 6.2.1.3

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 2) = 32 - 36 \cdot 4 - 72 \cdot - 2$

解题步骤 6.2.1.4

将 $- 36$ 乘以 $4$ 。

$f'' (- 2) = 32 - 144 - 72 \cdot - 2$

解题步骤 6.2.1.5

将 $- 72$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (- 2) = 32 - 144 + 144$

解题步骤 6.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $32$ 中减去 $144$ 。

$f'' (- 2) = - 112 + 144$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 112$ 和 $144$ 相加。

$f'' (- 2) = 32$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $32$ 。

$32$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(- 3, 0)$ 上向上凹，因为 $f'' (- 2)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- 3, 0)$ 上为向上凹

解题步骤 7

将区间 $(0, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (2) = - 4 {(2)}^{3} - 36 {(2)}^{2} - 72 \cdot 2$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (2) = - 4 \cdot 8 - 36 {(2)}^{2} - 72 \cdot 2$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $8$ 。

$f'' (2) = - 32 - 36 {(2)}^{2} - 72 \cdot 2$

解题步骤 7.2.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (2) = - 32 - 36 \cdot 4 - 72 \cdot 2$

解题步骤 7.2.1.4

将 $- 36$ 乘以 $4$ 。

$f'' (2) = - 32 - 144 - 72 \cdot 2$

解题步骤 7.2.1.5

将 $- 72$ 乘以 $2$ 。

$f'' (2) = - 32 - 144 - 144$

解题步骤 7.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $- 32$ 中减去 $144$ 。

$f'' (2) = - 176 - 144$

解题步骤 7.2.2.2

从 $- 176$ 中减去 $144$ 。

$f'' (2) = - 320$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 320$ 。

$- 320$

解题步骤 7.3

图像在区间 $(0, \infty)$ 上向下凹，因为 $f'' (2)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(0, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 8

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - 6)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- 6, - 3)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- 3, 0)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(0, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 9

微积分学 示例

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