微积分学示例

$lim_{t \to 3} \frac{3 - t}{\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{t \to 3} 3 - t}{lim_{t \to 3} \sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $t$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{t \to 3} 3 - lim_{t \to 3} t}{lim_{t \to 3} \sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}}$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $3$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 - lim_{t \to 3} t}{lim_{t \to 3} \sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}}$

解题步骤 1.1.2.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $3$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{3 - 3}{lim_{t \to 3} \sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{0}{lim_{t \to 3} \sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

当 $t$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{t \to 3} \sqrt{t + 1} - lim_{t \to 3} \sqrt{5 t - 11}}$

解题步骤 1.1.3.2

将极限移入根号内。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1} - lim_{t \to 3} \sqrt{5 t - 11}}$

解题步骤 1.1.3.3

当 $t$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + lim_{t \to 3} 1} - lim_{t \to 3} \sqrt{5 t - 11}}$

解题步骤 1.1.3.4

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1} - lim_{t \to 3} \sqrt{5 t - 11}}$

解题步骤 1.1.3.5

将极限移入根号内。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1} - \sqrt{lim_{t \to 3} 5 t - 11}}$

解题步骤 1.1.3.6

当 $t$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1} - \sqrt{lim_{t \to 3} 5 t - lim_{t \to 3} 11}}$

解题步骤 1.1.3.7

因为项 $5$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1} - \sqrt{5 lim_{t \to 3} t - lim_{t \to 3} 11}}$

解题步骤 1.1.3.8

计算 $11$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1} - \sqrt{5 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 11}}$

解题步骤 1.1.3.9

将 $3$ 代入所有出现 $t$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.9.1

将 $3$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{0}{\sqrt{3 + 1} - \sqrt{5 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 11}}$

解题步骤 1.1.3.9.2

将 $3$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{0}{\sqrt{3 + 1} - \sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 11}}$

解题步骤 1.1.3.10

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.10.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.10.1.1

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{\sqrt{4} - \sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 11}}$

解题步骤 1.1.3.10.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{0}{\sqrt{2^{2}} - \sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 11}}$

解题步骤 1.1.3.10.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{0}{2 - \sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 11}}$

解题步骤 1.1.3.10.1.4

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{0}{2 - \sqrt{15 - 1 \cdot 11}}$

解题步骤 1.1.3.10.1.5

将 $- 1$ 乘以 $11$ 。

$\frac{0}{2 - \sqrt{15 - 11}}$

解题步骤 1.1.3.10.1.6

从 $15$ 中减去 $11$ 。

$\frac{0}{2 - \sqrt{4}}$

解题步骤 1.1.3.10.1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{0}{2 - \sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 1.1.3.10.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 1.1.3.10.1.9

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0}{2 - 2}$

解题步骤 1.1.3.10.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.10.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.11

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{t \to 3} \frac{3 - t}{\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}} = lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [3 - t]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [3 - t]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $3 - t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- t]$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- t]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}]}$

解题步骤 1.3.3

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{0 + \frac{d}{d t} [- t]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d t} [- t]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{0 - \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}]}$

解题步骤 1.3.5

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $\sqrt{t + 1} - \sqrt{5 t - 11}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1}] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1}] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

解题步骤 1.3.7

计算 $\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 1}]$ 。

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解题步骤 1.3.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t + 1}$ 重写成 ${(t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

解题步骤 1.3.7.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (t) = t + 1$ 。

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解题步骤 1.3.7.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $t + 1$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 1] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

解题步骤 1.3.7.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 1] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

解题步骤 1.3.7.2.3

使用 $t + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 1] + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

解题步骤 1.3.7.3

根据加法法则， $t + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

解题步骤 1.3.7.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d t} [1]) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

解题步骤 1.3.7.5

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

解题步骤 1.3.7.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

解题步骤 1.3.7.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

解题步骤 1.3.7.8

在公分母上合并分子。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

解题步骤 1.3.7.9

化简分子。

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解题步骤 1.3.7.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

解题步骤 1.3.7.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

解题步骤 1.3.7.10

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

解题步骤 1.3.7.11

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2} {(t + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

解题步骤 1.3.7.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{{(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

解题步骤 1.3.7.13

将 $\frac{{(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{{(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

解题步骤 1.3.7.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]}$

解题步骤 1.3.8

计算 $\frac{d}{d t} [- \sqrt{5 t - 11}]$ 。

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解题步骤 1.3.8.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5 t - 11}$ 重写成 ${(5 t - 11)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 1.3.8.2

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [{(5 t - 11)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d t} [{(5 t - 11)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 1.3.8.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (t) = 5 t - 11$ 。

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解题步骤 1.3.8.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $5 t - 11$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [5 t - 11])}$

解题步骤 1.3.8.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [5 t - 11])}$

解题步骤 1.3.8.3.3

使用 $5 t - 11$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [5 t - 11])}$

解题步骤 1.3.8.4

根据加法法则， $5 t - 11$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 11]$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 11]))}$

解题步骤 1.3.8.5

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5 t$ 对 $t$ 的导数是 $5 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 11]))}$

解题步骤 1.3.8.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 11]))}$

解题步骤 1.3.8.7

因为 $- 11$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 11$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + 0))}$

解题步骤 1.3.8.8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

解题步骤 1.3.8.9

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

解题步骤 1.3.8.10

在公分母上合并分子。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

解题步骤 1.3.8.11

化简分子。

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解题步骤 1.3.8.11.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{1 - 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

解题步骤 1.3.8.11.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{\frac{- 1}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

解题步骤 1.3.8.12

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

解题步骤 1.3.8.13

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}} (5 + 0))}$

解题步骤 1.3.8.14

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5)}$

解题步骤 1.3.8.15

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{{(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 5)}$

解题步骤 1.3.8.16

组合 $\frac{{(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $5$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5}{2}}$

解题步骤 1.3.8.17

将 $5$ 移到 ${(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}}$ 的左侧。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{5 \cdot {(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

解题步骤 1.3.8.18

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(5 t - 11)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.4

将分数指数转换为根式。

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解题步骤 1.4.1

将 ${(t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{t + 1}$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 \sqrt{t + 1}} - \frac{5}{2 {(5 t - 11)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.4.2

将 ${(5 t - 11)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{5 t - 11}$ 。

$lim_{t \to 3} \frac{- 1}{\frac{1}{2 \sqrt{t + 1}} - \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $t$ 趋于 $3$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{t \to 3} - 1}{lim_{t \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{t + 1}} - \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

解题步骤 2.2

计算 $- 1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{- 1}{lim_{t \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{t + 1}} - \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

解题步骤 2.3

当 $t$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- 1}{lim_{t \to 3} \frac{1}{2 \sqrt{t + 1}} - lim_{t \to 3} \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

解题步骤 2.4

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} lim_{t \to 3} \frac{1}{\sqrt{t + 1}} - lim_{t \to 3} \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

解题步骤 2.5

当 $t$ 趋于 $3$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 3} 1}{lim_{t \to 3} \sqrt{t + 1}} - lim_{t \to 3} \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

解题步骤 2.6

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{t \to 3} \sqrt{t + 1}} - lim_{t \to 3} \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

解题步骤 2.7

将极限移入根号内。

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1}} - lim_{t \to 3} \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

解题步骤 2.8

当 $t$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + lim_{t \to 3} 1}} - lim_{t \to 3} \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

解题步骤 2.9

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1}} - lim_{t \to 3} \frac{5}{2 \sqrt{5 t - 11}}}$

解题步骤 2.10

因为项 $\frac{5}{2}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1}} - \frac{5}{2} lim_{t \to 3} \frac{1}{\sqrt{5 t - 11}}}$

解题步骤 2.11

当 $t$ 趋于 $3$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 3} 1}{lim_{t \to 3} \sqrt{5 t - 11}}}$

解题步骤 2.12

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{lim_{t \to 3} \sqrt{5 t - 11}}}$

解题步骤 2.13

将极限移入根号内。

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} 5 t - 11}}}$

解题步骤 2.14

当 $t$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} 5 t - lim_{t \to 3} 11}}}$

解题步骤 2.15

因为项 $5$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 lim_{t \to 3} t - lim_{t \to 3} 11}}}$

解题步骤 2.16

计算 $11$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{t \to 3} t + 1}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 11}}}$

解题步骤 3

将 $3$ 代入所有出现 $t$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $3$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3 + 1}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 lim_{t \to 3} t - 1 \cdot 11}}}$

解题步骤 3.2

将 $3$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3 + 1}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 11}}}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分母。

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解题步骤 4.1.1

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 11}}}$

解题步骤 4.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2^{2}}} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 11}}}$

解题步骤 4.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5 \cdot 3 - 1 \cdot 11}}}$

解题步骤 4.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.1

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{15 - 1 \cdot 11}}}$

解题步骤 4.2.2

将 $- 1$ 乘以 $11$ 。

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{15 - 11}}}$

解题步骤 4.2.3

从 $15$ 中减去 $11$ 。

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4}}}$

解题步骤 4.2.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}}$

解题步骤 4.2.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{- 1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

解题步骤 4.3

化简分母。

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解题步骤 4.3.1

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 4.3.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{- 1}{\frac{1}{2 \cdot 2} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

解题步骤 4.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 1}{\frac{1}{4} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

解题步骤 4.3.2

乘以 $- \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{5}{2}$ 。

$\frac{- 1}{\frac{1}{4} - \frac{5}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 1}{\frac{1}{4} - \frac{5}{4}}$

解题步骤 4.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1}{\frac{1 - 5}{4}}$

解题步骤 4.3.4

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$\frac{- 1}{\frac{- 4}{4}}$

解题步骤 4.3.5

用 $- 4$ 除以 $4$ 。

$\frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.4

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$1$

微积分学 示例

微积分学示例