微积分学示例

$f (x) = 5 + x + x^{2} + x^{3}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 5 + x + x^{2} + x^{3} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 5 d x + \int x d x + \int x^{2} d x + \int x^{3} d x$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$5 x + C + \int x d x + \int x^{2} d x + \int x^{3} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$5 x + C + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int x^{2} d x + \int x^{3} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$5 x + C + \frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{3} x^{3} + C + \int x^{3} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$5 x + C + \frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{4} x^{4} + C$

解题步骤 8

化简。

$5 x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = 5 + x + x^{2} + x^{3}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $5 x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

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