微积分学示例

$\sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$

解题步骤 1

将 $\sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sin (2 x) + 3 \cos (3 x) d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \sin (2 x) d x + \int 3 \cos (3 x) d x$

解题步骤 5

使 $u_{1} = 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u_{1} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 5.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 5.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int 3 \cos (3 x) d x$

解题步骤 6

组合 $\sin (u_{1})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1} + \int 3 \cos (3 x) d x$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int 3 \cos (3 x) d x$

解题步骤 8

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $- \cos (u_{1})$ 。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int 3 \cos (3 x) d x$

解题步骤 9

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 \int \cos (3 x) d x$

解题步骤 10

使 $u_{2} = 3 x$ 。然后使 $d u_{2} = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 10.1

设 $u_{2} = 3 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 10.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 10.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 10.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 10.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 10.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

解题步骤 11

组合 $\cos (u_{2})$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 3 (\frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{3}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 13.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{3}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 13.2.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + 1 \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 13.3

将 $\int \cos (u_{2}) d u_{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 14

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\sin (u_{2})$ 。

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \sin (u_{2}) + C$

解题步骤 15

化简。

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \sin (u_{2}) + C$

解题步骤 16

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 16.1

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \sin (u_{2}) + C$

解题步骤 16.2

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \sin (3 x) + C$

解题步骤 17

重新排序项。

$- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \sin (3 x) + C$

解题步骤 18

答案是函数 $f (x) = \sin (2 x) + 3 \cos (3 x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \sin (3 x) + C$

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