微积分学示例

$f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $\frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $\frac{3}{10}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{10} x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.3

组合 $5$ 和 $\frac{3}{10}$ 。

$\frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.4

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.5

组合 $\frac{15}{10}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.6

约去 $15$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.6.1

从 $15 x^{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.6.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 13$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 13 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 13 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{3 x^{4}}{2} - 13 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{3 x^{4}}{2} - 13 (3 x^{2})$

解题步骤 1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 13$ 。

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} - 39 x^{2}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $\frac{3 x^{4}}{2} - 39 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 x^{4}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.5

组合 $\frac{12}{2}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.6

约去 $12$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.6.1

从 $12 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.2.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.6.2.4

用 $6 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $- 39$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 39 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 39 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$6 x^{3} - 39 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 x^{3} - 39 (2 x)$

解题步骤 1.2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 39$ 。

$f'' (x) = 6 x^{3} - 78 x$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $6 x^{3} - 78 x$ 。

$6 x^{3} - 78 x$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $6 x^{3} - 78 x = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$6 x^{3} - 78 x = 0$

解题步骤 2.2

从 $6 x^{3} - 78 x$ 中分解出因数 $6 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $6 x^{3}$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$6 x (x^{2}) - 78 x = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $- 78 x$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$6 x (x^{2}) + 6 x (- 13) = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $6 x (x^{2}) + 6 x (- 13)$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$6 x (x^{2} - 13) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x^{2} - 13 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $x^{2} - 13$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x^{2} - 13$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 13 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 13 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

在等式两边都加上 $13$ 。

$x^{2} = 13$

解题步骤 2.5.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{13}$

解题步骤 2.5.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.5.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{13}$

解题步骤 2.5.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{13}$

解题步骤 2.5.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{13}, - \sqrt{13}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $6 x (x^{2} - 13) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \sqrt{13}, - \sqrt{13}$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot {(0)}^{5} - 13 {(0)}^{3}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot 0 - 13 {(0)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 $\frac{3}{10}$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 - 13 {(0)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 13 \cdot 0$

解题步骤 3.1.2.1.4

将 $- 13$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 3.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

解题步骤 3.3

将 $\sqrt{13}$ 代入 $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $\sqrt{13}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot {(\sqrt{13})}^{5} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 ${\sqrt{13}}^{5}$ 重写为 $\sqrt{13^{5}}$ 。

$f (\sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot \sqrt{13^{5}} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2

对 $13$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (\sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot \sqrt{371293} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.3

将 $371293$ 重写为 $169^{2} \cdot 13$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1

从 $371293$ 中分解出因数 $28561$ 。

$f (\sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot \sqrt{28561 (13)} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.3.2

将 $28561$ 重写为 $169^{2}$ 。

$f (\sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot \sqrt{169^{2} \cdot 13} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.4

从根式下提出各项。

$f (\sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (169 \sqrt{13}) - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.5

乘以 $\frac{3}{10} (169 \sqrt{13})$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.5.1

组合 $169$ 和 $\frac{3}{10}$ 。

$f (\sqrt{13}) = \frac{169 \cdot 3}{10} \cdot \sqrt{13} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.5.2

将 $169$ 乘以 $3$ 。

$f (\sqrt{13}) = \frac{507}{10} \cdot \sqrt{13} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.5.3

组合 $\frac{507}{10}$ 和 $\sqrt{13}$ 。

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.6

将 ${\sqrt{13}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{13^{3}}$ 。

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 \sqrt{13^{3}}$

解题步骤 3.3.2.1.7

对 $13$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 \sqrt{2197}$

解题步骤 3.3.2.1.8

将 $2197$ 重写为 $13^{2} \cdot 13$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.8.1

从 $2197$ 中分解出因数 $169$ 。

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 \sqrt{169 (13)}$

解题步骤 3.3.2.1.8.2

将 $169$ 重写为 $13^{2}$ 。

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 \sqrt{13^{2} \cdot 13}$

解题步骤 3.3.2.1.9

从根式下提出各项。

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (13 \sqrt{13})$

解题步骤 3.3.2.1.10

将 $13$ 乘以 $- 13$ 。

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 169 \sqrt{13}$

解题步骤 3.3.2.2

要将 $- 169 \sqrt{13}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{10}{10}$ 。

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 169 \sqrt{13} \cdot \frac{10}{10}$

解题步骤 3.3.2.3

合并分数。

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解题步骤 3.3.2.3.1

组合 $- 169 \sqrt{13}$ 和 $\frac{10}{10}$ 。

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} + \frac{- 169 \sqrt{13} \cdot 10}{10}$

解题步骤 3.3.2.3.2

在公分母上合并分子。

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13} - 169 \sqrt{13} \cdot 10}{10}$

解题步骤 3.3.2.4

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.4.1

将 $10$ 乘以 $- 169$ 。

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13} - 1690 \sqrt{13}}{10}$

解题步骤 3.3.2.4.2

从 $507 \sqrt{13}$ 中减去 $1690 \sqrt{13}$ 。

$f (\sqrt{13}) = \frac{- 1183 \sqrt{13}}{10}$

解题步骤 3.3.2.5

将负号移到分数的前面。

$f (\sqrt{13}) = - \frac{1183 \sqrt{13}}{10}$

解题步骤 3.3.2.6

最终答案为 $- \frac{1183 \sqrt{13}}{10}$ 。

$- \frac{1183 \sqrt{13}}{10}$

解题步骤 3.4

通过将 $\sqrt{13}$ 代入 $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ 中求得的点为 $(\sqrt{13}, - \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(\sqrt{13}, - \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$

解题步骤 3.5

将 $- \sqrt{13}$ 代入 $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.5.1

使用表达式中的 $- \sqrt{13}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot {(- \sqrt{13})}^{5} - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

解题步骤 3.5.2

化简结果。

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解题步骤 3.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.1.1

对 $- \sqrt{13}$ 运用乘积法则。

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot ({(- 1)}^{5} {\sqrt{13}}^{5}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- {\sqrt{13}}^{5}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.3

将 ${\sqrt{13}}^{5}$ 重写为 $\sqrt{13^{5}}$ 。

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- \sqrt{13^{5}}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.4

对 $13$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- \sqrt{371293}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.5

将 $371293$ 重写为 $169^{2} \cdot 13$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.5.1

从 $371293$ 中分解出因数 $28561$ 。

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- \sqrt{28561 (13)}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.5.2

将 $28561$ 重写为 $169^{2}$ 。

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- \sqrt{169^{2} \cdot 13}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.6

从根式下提出各项。

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- (169 \sqrt{13})) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.7

将 $169$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- 169 \sqrt{13}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.8

乘以 $\frac{3}{10} (- 169 \sqrt{13})$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.8.1

组合 $- 169$ 和 $\frac{3}{10}$ 。

$f (- \sqrt{13}) = \frac{- 169 \cdot 3}{10} \cdot \sqrt{13} - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.8.2

将 $- 169$ 乘以 $3$ 。

$f (- \sqrt{13}) = \frac{- 507}{10} \cdot \sqrt{13} - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.8.3

组合 $\frac{- 507}{10}$ 和 $\sqrt{13}$ 。

$f (- \sqrt{13}) = \frac{- 507 \sqrt{13}}{10} - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.9

将负号移到分数的前面。

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

解题步骤 3.5.2.1.10

对 $- \sqrt{13}$ 运用乘积法则。

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{13}}^{3})$

解题步骤 3.5.2.1.11

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- {\sqrt{13}}^{3})$

解题步骤 3.5.2.1.12

将 ${\sqrt{13}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{13^{3}}$ 。

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- \sqrt{13^{3}})$

解题步骤 3.5.2.1.13

对 $13$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- \sqrt{2197})$

解题步骤 3.5.2.1.14

将 $2197$ 重写为 $13^{2} \cdot 13$ 。

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解题步骤 3.5.2.1.14.1

从 $2197$ 中分解出因数 $169$ 。

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- \sqrt{169 (13)})$

解题步骤 3.5.2.1.14.2

将 $169$ 重写为 $13^{2}$ 。

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- \sqrt{13^{2} \cdot 13})$

解题步骤 3.5.2.1.15

从根式下提出各项。

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- (13 \sqrt{13}))$

解题步骤 3.5.2.1.16

将 $13$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- 13 \sqrt{13})$

解题步骤 3.5.2.1.17

将 $- 13$ 乘以 $- 13$ 。

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} + 169 \sqrt{13}$

解题步骤 3.5.2.2

要将 $169 \sqrt{13}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{10}{10}$ 。

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} + 169 \sqrt{13} \cdot \frac{10}{10}$

解题步骤 3.5.2.3

合并分数。

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解题步骤 3.5.2.3.1

组合 $169 \sqrt{13}$ 和 $\frac{10}{10}$ 。

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} + \frac{169 \sqrt{13} \cdot 10}{10}$

解题步骤 3.5.2.3.2

在公分母上合并分子。

$f (- \sqrt{13}) = \frac{- 507 \sqrt{13} + 169 \sqrt{13} \cdot 10}{10}$

解题步骤 3.5.2.4

化简分子。

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解题步骤 3.5.2.4.1

将 $10$ 乘以 $169$ 。

$f (- \sqrt{13}) = \frac{- 507 \sqrt{13} + 1690 \sqrt{13}}{10}$

解题步骤 3.5.2.4.2

将 $- 507 \sqrt{13}$ 和 $1690 \sqrt{13}$ 相加。

$f (- \sqrt{13}) = \frac{1183 \sqrt{13}}{10}$

解题步骤 3.5.2.5

最终答案为 $\frac{1183 \sqrt{13}}{10}$ 。

$\frac{1183 \sqrt{13}}{10}$

解题步骤 3.6

通过将 $- \sqrt{13}$ 代入 $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ 中求得的点为 $(- \sqrt{13}, \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- \sqrt{13}, \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$

解题步骤 3.7

确定可能是拐点的点。

$(0, 0), (\sqrt{13}, - \frac{1183 \sqrt{13}}{10}), (- \sqrt{13}, \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - \sqrt{13}) \cup (- \sqrt{13}, 0) \cup (0, \sqrt{13}) \cup (\sqrt{13}, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - \sqrt{13})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 3.70555127$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 3.70555127) = 6 {(- 3.70555127)}^{3} - 78 \cdot - 3.70555127$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 3.70555127$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 3.70555127) = 6 \cdot - 50.88133311 - 78 \cdot - 3.70555127$

解题步骤 5.2.1.2

将 $6$ 乘以 $- 50.88133311$ 。

$f'' (- 3.70555127) = - 305.28799871 - 78 \cdot - 3.70555127$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 78$ 乘以 $- 3.70555127$ 。

$f'' (- 3.70555127) = - 305.28799871 + 289.03299948$

解题步骤 5.2.2

将 $- 305.28799871$ 和 $289.03299948$ 相加。

$f'' (- 3.70555127) = - 16.25499922$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 16.25499922$ 。

$- 16.25499922$

解题步骤 5.3

在 $- 3.70555127$ ，二阶导数为 $- 16.25499922$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, - \sqrt{13})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - \sqrt{13})$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(- \sqrt{13}, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1.80277563$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 1.80277563) = 6 {(- 1.80277563)}^{3} - 78 \cdot - 1.80277563$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 1.80277563$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 1.80277563) = 6 \cdot - 5.85902082 - 78 \cdot - 1.80277563$

解题步骤 6.2.1.2

将 $6$ 乘以 $- 5.85902082$ 。

$f'' (- 1.80277563) = - 35.15412493 - 78 \cdot - 1.80277563$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 78$ 乘以 $- 1.80277563$ 。

$f'' (- 1.80277563) = - 35.15412493 + 140.61649974$

解题步骤 6.2.2

将 $- 35.15412493$ 和 $140.61649974$ 相加。

$f'' (- 1.80277563) = 105.4623748$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $105.4623748$ 。

$105.4623748$

解题步骤 6.3

在 $- 1.80277563$ 处，二阶导数为 $105.4623748$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \sqrt{13}, 0)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \sqrt{13}, 0)$ 上递增

解题步骤 7

将区间 $(0, \sqrt{13})$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $1.80277563$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (1.80277563) = 6 {(1.80277563)}^{3} - 78 \cdot 1.80277563$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $1.80277563$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (1.80277563) = 6 \cdot 5.85902082 - 78 \cdot 1.80277563$

解题步骤 7.2.1.2

将 $6$ 乘以 $5.85902082$ 。

$f'' (1.80277563) = 35.15412493 - 78 \cdot 1.80277563$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 78$ 乘以 $1.80277563$ 。

$f'' (1.80277563) = 35.15412493 - 140.61649974$

解题步骤 7.2.2

从 $35.15412493$ 中减去 $140.61649974$ 。

$f'' (1.80277563) = - 105.4623748$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 105.4623748$ 。

$- 105.4623748$

解题步骤 7.3

在 $1.80277563$ ，二阶导数为 $- 105.4623748$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(0, \sqrt{13})$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(0, \sqrt{13})$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(\sqrt{13}, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $3.70555127$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (3.70555127) = 6 {(3.70555127)}^{3} - 78 \cdot 3.70555127$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $3.70555127$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (3.70555127) = 6 \cdot 50.88133311 - 78 \cdot 3.70555127$

解题步骤 8.2.1.2

将 $6$ 乘以 $50.88133311$ 。

$f'' (3.70555127) = 305.28799871 - 78 \cdot 3.70555127$

解题步骤 8.2.1.3

将 $- 78$ 乘以 $3.70555127$ 。

$f'' (3.70555127) = 305.28799871 - 289.03299948$

解题步骤 8.2.2

从 $305.28799871$ 中减去 $289.03299948$ 。

$f'' (3.70555127) = 16.25499922$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $16.25499922$ 。

$16.25499922$

解题步骤 8.3

在 $3.70555127$ 处，二阶导数为 $16.25499922$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(\sqrt{13}, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(\sqrt{13}, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(- \sqrt{13}, \frac{1183 \sqrt{13}}{10}), (0, 0), (\sqrt{13}, - \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$ 。

$(- \sqrt{13}, \frac{1183 \sqrt{13}}{10}), (0, 0), (\sqrt{13}, - \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例