微积分学示例

lim x \to \infty \frac{{(x^{3} + 4)}^{2} - x^{6}}{x^{3}}

$lim_{x \to \infty} \frac{{(x^{3} + 4)}^{2} - x^{6}}{x^{3}}$

解题步骤 1

分子分母同时除以分母中

x

$x$ 的最高次幂。

lim x \to \infty \frac{{(\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{4}{x^{3}})}^{2} - \frac{x^{6}}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{4}{x^{3}})}^{2} - \frac{x^{6}}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.1

约去

x^{6}

$x^{6}$ 和

x^{3}

$x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1

从

x^{6}

$x^{6}$ 中分解出因数

x^{3}

$x^{3}$ 。

lim x \to \infty \frac{{(\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{4}{x^{3}})}^{2} - \frac{x^{3} x^{3}}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{4}{x^{3}})}^{2} - \frac{x^{3} x^{3}}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.1

乘以

1

$1$ 。

lim x \to \infty \frac{{(\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{4}{x^{3}})}^{2} - \frac{x^{3} x^{3}}{x^{3} \cdot 1}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{4}{x^{3}})}^{2} - \frac{x^{3} x^{3}}{x^{3} \cdot 1}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{4}{x^{3}})}^{2} - \frac{x^{3} x^{3}}{x^{3} \cdot 1}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{4}{x^{3}})}^{2} - \frac{x^{3}}{1}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.1.2.4

用

$x^{3}$ 除以

$1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{4}{x^{3}})}^{2} - x^{3}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

解题步骤 2.2

约去

$x^{3}$ 的公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{4}{x^{3}})}^{2} - x^{3}}{1}$

解题步骤 3

当

$x$ 趋于

$\infty$ 时，分数

$\frac{4}{x^{3}}$ 趋于

$0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{x^{3}}{x^{3}} + 0)}^{2} - x^{3}}{1}$

解题步骤 4

由于其分子为无穷，而分母趋于常数，因此该分式

$\frac{{(\frac{x^{3}}{x^{3}} + 0)}^{2} - x^{3}}{1}$ 趋于负无穷。

$- \infty$

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