微积分学示例

$\tan^{5} (x)$

解题步骤 1

将 $\tan^{5} (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = \tan^{5} (x)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \tan^{5} (x) d x$

解题步骤 4

因式分解出 $\tan^{4} (x)$ 。

$\int \tan^{4} (x) \tan (x) d x$

解题步骤 5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} \tan (x) d x$

解题步骤 5.2

将 ${\tan (x)}^{2 (2)}$ 重写为乘方形式。

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

解题步骤 6

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (x)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (x)$ 的形式。

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

解题步骤 7

使用二项式定理。

$\int ({(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2}) \tan (x) d x$

解题步骤 8

通过相乘进行化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\int {(- 1)}^{2} \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int 1 \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

解题步骤 8.2.2

将 $\tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$\int \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

解题步骤 8.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

解题步骤 8.2.4

将 ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.2.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{2 \cdot 2} \tan (x) d x$

解题步骤 8.2.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \tan (x) d x + \int - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

解题步骤 10

$\tan (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sec (x) |)$ 。

$\ln (| \sec (x) |) + C + \int - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

解题步骤 11

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

解题步骤 12

使 $u_{1} = \sec (x)$ 。然后使 $d u_{1} = \sec (x) \tan (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 12.1

设 $u_{1} = \sec (x)$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 12.1.1

对 $\sec (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 12.1.2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\sec (x) \tan (x)$

解题步骤 12.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 \int u_{1} d u_{1} + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

解题步骤 13

根据幂法则， $u_{1}$ 对 $u_{1}$ 的积分是 $\frac{1}{2} {u_{1}}^{2}$ 。

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

解题步骤 14

使 $u_{2} = \sec (x)$ 。然后使 $d u_{2} = \sec (x) \tan (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 14.1

设 $u_{2} = \sec (x)$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 14.1.1

对 $\sec (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 14.1.2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\sec (x) \tan (x)$

解题步骤 14.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

解题步骤 15

根据幂法则， ${u_{2}}^{3}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ 。

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${u_{1}}^{2}$ 。

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{{u_{1}}^{2}}{2} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

解题步骤 16.2

化简。

$\ln (| \sec (x) |) - {u_{1}}^{2} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

解题步骤 17

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 17.1

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

解题步骤 17.2

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

解题步骤 18

答案是函数 $f (x) = \tan^{5} (x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

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