微积分学示例

$y = \frac{3 x + 7}{\sqrt{5 + 2 x}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5 + 2 x}$ 重写成 ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x + 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 x + 7$ 且 $g (x) = {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 7] - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3

将 ${({(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 7] - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 7] - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 7] - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(5 + 2 x)}^{1}}$

解题步骤 4

化简。

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 7] - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

根据加法法则， $3 x + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [7]) - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

解题步骤 5.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]) - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

解题步骤 5.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} [7]) - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

解题步骤 5.5

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

解题步骤 5.6

化简表达式。

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解题步骤 5.6.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

解题步骤 5.6.2

将 $3$ 移到 ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 5 + 2 x$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $5 + 2 x$ 。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

解题步骤 6.3

使用 $5 + 2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

解题步骤 7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

解题步骤 8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

解题步骤 10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

解题步骤 11

合并分数。

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解题步骤 11.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

解题步骤 11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(5 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{{(5 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

解题步骤 11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(5 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

解题步骤 12

根据加法法则， $5 + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2 x]))}{5 + 2 x}$

解题步骤 13

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [2 x]))}{5 + 2 x}$

解题步骤 14

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 相加。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x])}{5 + 2 x}$

解题步骤 15

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x]))}{5 + 2 x}$

解题步骤 16

化简项。

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解题步骤 16.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{2}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x])}{5 + 2 x}$

解题步骤 16.2

约去公因数。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{2}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x])}{5 + 2 x}$

解题步骤 16.3

重写表达式。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x])}{5 + 2 x}$

解题步骤 17

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{5 + 2 x}$

解题步骤 18

将 $\frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) \frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

解题步骤 19

化简。

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解题步骤 19.1

运用分配律。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + (- (3 x) - 1 \cdot 7) \frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

解题步骤 19.2

化简分子。

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解题步骤 19.2.1

添加圆括号。

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 7) \frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

解题步骤 19.2.2

使 $u_{2} = {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。用 $u_{2}$ 代入替换所有出现的 ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 19.2.2.1

移动 $u_{2}$ 。

$\frac{\frac{3 (u_{2} \cdot u_{2}) - 3 x - 7}{u_{2}}}{5 + 2 x}$

解题步骤 19.2.2.2

将 $u_{2}$ 乘以 $u_{2}$ 。

$\frac{\frac{3 {u_{2}}^{2} - 3 x - 7}{u_{2}}}{5 + 2 x}$

解题步骤 19.2.3

使用 ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{\frac{3 {({(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

解题步骤 19.2.4

化简。

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解题步骤 19.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.4.1.1

将 ${({(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 19.2.4.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

解题步骤 19.2.4.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.4.1.1.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

解题步骤 19.2.4.1.1.2.2

重写表达式。

$\frac{\frac{3 {(5 + 2 x)}^{1} - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

解题步骤 19.2.4.1.2

化简。

$\frac{\frac{3 (5 + 2 x) - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

解题步骤 19.2.4.1.3

运用分配律。

$\frac{\frac{3 \cdot 5 + 3 (2 x) - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

解题步骤 19.2.4.1.4

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{\frac{15 + 3 (2 x) - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

解题步骤 19.2.4.1.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\frac{15 + 6 x - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

解题步骤 19.2.4.2

从 $15$ 中减去 $7$ 。

$\frac{\frac{6 x - 3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

解题步骤 19.2.4.3

从 $6 x$ 中减去 $3 x$ 。

$\frac{\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

解题步骤 19.3

合并项。

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解题步骤 19.3.1

将 $\frac{\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$ 重写为乘积形式。

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{5 + 2 x}$

解题步骤 19.3.2

将 $\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{5 + 2 x}$ 。

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (5 + 2 x)}$

解题步骤 19.3.3

通过指数相加将 ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $5 + 2 x$ 。

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解题步骤 19.3.3.1

将 ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $5 + 2 x$ 。

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解题步骤 19.3.3.1.1

对 $5 + 2 x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(5 + 2 x)}^{1}}$

解题步骤 19.3.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 19.3.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 19.3.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 19.3.3.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 19.4

重新排序项。

$\frac{3 x + 8}{{(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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