微积分学示例

$\frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

解题步骤 1

将 $\frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}} d x$

解题步骤 4

使 $x = \sqrt{2} \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \sqrt{2} \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sqrt{2} \cos (t)$ 为正数。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

化简 $\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{2} \sin (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $\sqrt{2} \sin (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.1.2

乘以 $1$ 。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.1.3

从 $- ({\sqrt{2}}^{2} \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 ${\sqrt{2}}^{2}$ 。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.1.4

从 ${\sqrt{2}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{2}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ 中分解出因数 ${\sqrt{2}}^{2}$ 。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.1.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.1.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.1.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.1.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.1.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.6.4.1

约去公因数。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.1.6.4.2

重写表达式。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2^{1} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.1.6.5

计算指数。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2 \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2 \cos^{2} (t)}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.1.7

将 $2$ 和 $\cos^{2} (t)$ 重新排序。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 2}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.1.8

从根式下提出各项。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\cos (t) \sqrt{2}} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.1

约去 $\sqrt{2} \cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $\cos (t) \sqrt{2}$ 中分解出因数 $\sqrt{2} \cos (t)$ 。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2} \cos (t) (1)} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.2.1.2

约去公因数。

$\int \frac{{(\sqrt{2} \sin (t))}^{3}}{\sqrt{2} \cos (t) \cdot 1} (\sqrt{2} \cos (t)) d t$

解题步骤 5.2.1.3

重写表达式。

$\int {(\sqrt{2} \sin (t))}^{3} d t$

解题步骤 5.2.2

化简表达式。

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解题步骤 5.2.2.1

对 $\sqrt{2} \sin (t)$ 运用乘积法则。

$\int {\sqrt{2}}^{3} \sin^{3} (t) d t$

解题步骤 5.2.2.2

化简。

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解题步骤 5.2.2.2.1

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$\int \sqrt{2^{3}} \sin^{3} (t) d t$

解题步骤 5.2.2.2.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\int \sqrt{8} \sin^{3} (t) d t$

解题步骤 6

由于 $\sqrt{8}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\sqrt{8}$ 移到积分外。

$\sqrt{8} \int \sin^{3} (t) d t$

解题步骤 7

因式分解出 $\sin^{2} (t)$ 。

$\sqrt{8} \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

解题步骤 8

使用勾股定理，将 $\sin^{2} (t)$ 重写成 $1 - \cos^{2} (t)$ 的形式。

$\sqrt{8} \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

解题步骤 9

使 $u = \cos (t)$ 。然后使 $d u = - \sin (t) d t$ ，以便 $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u = \cos (t)$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 $\cos (t)$ 求导。

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

解题步骤 9.1.2

$\cos (t)$ 对 $t$ 的导数为 $- \sin (t)$ 。

$- \sin (t)$

解题步骤 9.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\sqrt{8} \int - 1 + u^{2} d u$

解题步骤 10

将单个积分拆分为多个积分。

$\sqrt{8} (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

解题步骤 11

应用常数不变法则。

$\sqrt{8} (- u + C + \int u^{2} d u)$

解题步骤 12

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\sqrt{8} (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$\sqrt{8} (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

解题步骤 13.2

化简。

$2 \sqrt{2} (- u + \frac{u^{3}}{3}) + C$

解题步骤 14

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 14.1

使用 $\cos (t)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \sqrt{2} (- \cos (t) + \frac{\cos^{3} (t)}{3}) + C$

解题步骤 14.2

使用 $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$2 \sqrt{2} (- \cos (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})) + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}, \frac{x}{\sqrt{2}})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}, \frac{x}{\sqrt{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))$ 为 $\sqrt{1 - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}$ 。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{1 - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{x}{\sqrt{2}}$ 。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{(1 + \frac{x}{\sqrt{2}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{x}{\sqrt{2}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.5

在公分母上合并分子。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \frac{x}{\sqrt{2}})} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.7

在公分母上合并分子。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.8

将 $\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}}$ 。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{\sqrt{2} \sqrt{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.9

化简分母。

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解题步骤 15.1.9.1

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.9.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.9.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.9.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.10

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 15.1.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{2}{2}}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.1.10.4.1

约去公因数。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{2}{2}}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.10.4.2

重写表达式。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{1}}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.10.5

计算指数。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.11

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)$ 。

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解题步骤 15.1.11.1

运用分配律。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - x) + x (\sqrt{2} - x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.11.2

运用分配律。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x (\sqrt{2} - x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.11.3

运用分配律。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x \sqrt{2} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.12

合并 $\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x \sqrt{2} + x (- x)$ 中相反的项。

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解题步骤 15.1.12.1

按照 $\sqrt{2} (- x)$ 和 $x \sqrt{2}$ 重新排列因数。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} - x \sqrt{2} + x \sqrt{2} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.12.2

将 $- x \sqrt{2}$ 和 $x \sqrt{2}$ 相加。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + 0 + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.12.3

将 $\sqrt{2} \sqrt{2}$ 和 $0$ 相加。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.13

化简每一项。

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解题步骤 15.1.13.1

使用根数乘积法则进行合并。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.13.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{4} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.13.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{\sqrt{2^{2}} + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.13.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{2 + x (- x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.13.5

使用乘法的交换性质重写。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{2 - x \cdot x}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.13.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 15.1.13.6.1

移动 $x$ 。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{2 - (x \cdot x)}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.13.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 \sqrt{2} (- \sqrt{\frac{2 - x^{2}}{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.14

将 $\sqrt{\frac{2 - x^{2}}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ 。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{\sqrt{2}}))}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15

化简分子。

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解题步骤 15.1.15.1

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{1 - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \frac{x}{\sqrt{2}}$ 。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{(1 + \frac{x}{\sqrt{2}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{x}{\sqrt{2}}) (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.5

在公分母上合并分子。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} (1 - \frac{x}{\sqrt{2}})}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - \frac{x}{\sqrt{2}})}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.7

在公分母上合并分子。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}}}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.8

将 $\frac{\sqrt{2} + x}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2} - x}{\sqrt{2}}$ 。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.9

化简分母。

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解题步骤 15.1.15.9.1

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.9.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.9.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.9.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{\sqrt{2}}^{2}}}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.10

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 15.1.15.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{2}{2}}}}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.1.15.10.4.1

约去公因数。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{\frac{2}{2}}}}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.10.4.2

重写表达式。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2^{1}}}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.10.5

计算指数。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.11

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)$ 。

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解题步骤 15.1.15.11.1

运用分配律。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} - x) + x (\sqrt{2} - x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.11.2

运用分配律。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x (\sqrt{2} - x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.11.3

运用分配律。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x \sqrt{2} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.12

合并 $\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- x) + x \sqrt{2} + x (- x)$ 中相反的项。

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解题步骤 15.1.15.12.1

按照 $\sqrt{2} (- x)$ 和 $x \sqrt{2}$ 重新排列因数。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} - x \sqrt{2} + x \sqrt{2} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.12.2

将 $- x \sqrt{2}$ 和 $x \sqrt{2}$ 相加。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + 0 + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.12.3

将 $\sqrt{2} \sqrt{2}$ 和 $0$ 相加。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.13

化简每一项。

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解题步骤 15.1.15.13.1

使用根数乘积法则进行合并。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.13.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{4} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.13.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{\sqrt{2^{2}} + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.13.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{2 + x (- x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.13.5

使用乘法的交换性质重写。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{2 - x \cdot x}{2}}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.13.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 15.1.15.13.6.1

移动 $x$ 。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{2 - (x \cdot x)}{2}}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.13.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{\sqrt{\frac{2 - x^{2}}{2}}}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.14

将 $\sqrt{\frac{2 - x^{2}}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ 。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{{(\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}})}^{3}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.15

对 $\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ 运用乘积法则。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{{\sqrt{2 - x^{2}}}^{3}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.16

化简分子。

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解题步骤 15.1.15.16.1

将 ${\sqrt{2 - x^{2}}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{{(2 - x^{2})}^{3}}$ 。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{{(2 - x^{2})}^{3}}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.16.2

因式分解出 ${(2 - x^{2})}^{2}$ 。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{{(2 - x^{2})}^{2} (2 - x^{2})}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.16.3

从根式下提出各项。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{(2 - x^{2}) \sqrt{2 - x^{2}}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.16.4

运用分配律。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{2 \sqrt{2 - x^{2}} - x^{2} \sqrt{2 - x^{2}}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.16.5

从 $2 \sqrt{2 - x^{2}} - x^{2} \sqrt{2 - x^{2}}$ 中分解出因数 $\sqrt{2 - x^{2}}$ 。

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解题步骤 15.1.15.16.5.1

从 $2 \sqrt{2 - x^{2}}$ 中分解出因数 $\sqrt{2 - x^{2}}$ 。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 2 - x^{2} \sqrt{2 - x^{2}}}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.16.5.2

从 $- x^{2} \sqrt{2 - x^{2}}$ 中分解出因数 $\sqrt{2 - x^{2}}$ 。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 2 + \sqrt{2 - x^{2}} (- x^{2})}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.16.5.3

从 $\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 2 + \sqrt{2 - x^{2}} (- x^{2})$ 中分解出因数 $\sqrt{2 - x^{2}}$ 。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{{\sqrt{2}}^{3}}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.17

化简分母。

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解题步骤 15.1.15.17.1

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{\sqrt{2^{3}}}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.17.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{\sqrt{8}}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.17.3

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 15.1.15.17.3.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{\sqrt{4 (2)}}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.17.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.15.17.4

从根式下提出各项。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2}}}{3}) + C$

解题步骤 15.1.16

将分子乘以分母的倒数。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{1}{3}) + C$

解题步骤 15.1.17

合并。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2}) \cdot 1}{2 \sqrt{2} \cdot 3}) + C$

解题步骤 15.1.18

将 $\sqrt{2 - x^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2} \cdot 3}) + C$

解题步骤 15.1.19

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}}) + C$

解题步骤 15.2

要将 $- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{6}{6} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}}) + C$

解题步骤 15.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $\sqrt{2} \cdot 6$ 的形式。

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解题步骤 15.3.1

将 $\frac{\sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6}{\sqrt{2} \cdot 6} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}}) + C$

解题步骤 15.3.2

重新排序 $\sqrt{2} \cdot 6$ 的因式。

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6}{6 \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}}) + C$

解题步骤 15.4

在公分母上合并分子。

$2 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{6 \sqrt{2}} + C$

解题步骤 15.5

约去 $2 \sqrt{2}$ 的公因数。

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解题步骤 15.5.1

从 $6 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2 \sqrt{2}$ 。

$2 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2} (3)} + C$

解题步骤 15.5.2

约去公因数。

$2 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{2 \sqrt{2} \cdot 3} + C$

解题步骤 15.5.3

重写表达式。

$\frac{- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{3} + C$

解题步骤 15.6

化简分子。

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解题步骤 15.6.1

从 $- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6 + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})$ 中分解出因数 $\sqrt{2 - x^{2}}$ 。

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解题步骤 15.6.1.1

从 $- \sqrt{2 - x^{2}} \cdot 6$ 中分解出因数 $\sqrt{2 - x^{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 \cdot 6) + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})}{3} + C$

解题步骤 15.6.1.2

从 $\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 \cdot 6) + \sqrt{2 - x^{2}} (2 - x^{2})$ 中分解出因数 $\sqrt{2 - x^{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 \cdot 6 + 2 - x^{2})}{3} + C$

解题步骤 15.6.2

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 6 + 2 - x^{2})}{3} + C$

解题步骤 15.6.3

将 $- 6$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 4 - x^{2})}{3} + C$

解题步骤 15.7

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 (4) - x^{2})}{3} + C$

解题步骤 15.8

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 (4) - (x^{2}))}{3} + C$

解题步骤 15.9

从 $- 1 (4) - (x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{\sqrt{2 - x^{2}} (- 1 (4 + x^{2}))}{3} + C$

解题步骤 15.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

解题步骤 16

答案是函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{2 - x^{2}}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{\sqrt{2 - x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

微积分学 示例

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