微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 5}{\sqrt[3]{27 x^{3} + 12}}$

解题步骤 1

从 $27 x^{3} + 12$ 中分解出因数 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

从 $27 x^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 5}{\sqrt[3]{3 (9 x^{3}) + 12}}$

解题步骤 1.2

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 5}{\sqrt[3]{3 (9 x^{3}) + 3 (4)}}$

解题步骤 1.3

从 $3 (9 x^{3}) + 3 (4)$ 中分解出因数 $3$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x - 5}{\sqrt[3]{3 (9 x^{3} + 4)}}$

解题步骤 2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x = \sqrt[3]{x^{3}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{- 5}{x}}{\sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

解题步骤 3

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

化简每一项。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x}}{\sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

解题步骤 3.2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{5}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

解题步骤 3.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

解题步骤 3.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 - lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

解题步骤 3.5

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1 - 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

解题步骤 4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

解题步骤 5

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将极限移入根号内。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{lim_{x \to \infty} \frac{3 (9 x^{3} + 4)}{x^{3}}}}$

解题步骤 5.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{9 x^{3} + 4}{x^{3}}}}$

解题步骤 6

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{3}$ 。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x^{3}}{x^{3}} + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}$

解题步骤 7

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

约去 $x^{3}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.1

约去公因数。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{9 x^{3}}{x^{3}} + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}$

解题步骤 7.1.2

用 $9$ 除以 $1$ 。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{9 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}$

解题步骤 7.2

约去 $x^{3}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

约去公因数。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{9 + \frac{4}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}$

解题步骤 7.2.2

重写表达式。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 lim_{x \to \infty} \frac{9 + \frac{4}{x^{3}}}{1}}}$

解题步骤 7.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{4}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

解题步骤 7.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

解题步骤 7.5

计算 $9$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

解题步骤 7.6

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{9 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

解题步骤 8

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{9 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

解题步骤 9

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 \frac{9 + 4 \cdot 0}{1}}}$

解题步骤 9.2

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1

用 $9 + 4 \cdot 0$ 除以 $1$ 。

$\frac{1 - 5 \cdot 0}{\sqrt[3]{3 (9 + 4 \cdot 0)}}$

解题步骤 9.2.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.2.1

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1 + 0}{\sqrt[3]{3 (9 + 4 \cdot 0)}}$

解题步骤 9.2.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt[3]{3 (9 + 4 \cdot 0)}}$

解题步骤 9.2.3

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.3.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{\sqrt[3]{3 (9 + 0)}}$

解题步骤 9.2.3.2

将 $9$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt[3]{3 \cdot 9}}$

解题步骤 9.2.3.3

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$\frac{1}{\sqrt[3]{27}}$

解题步骤 9.2.3.4

将 $27$ 重写为 $3^{3}$ 。

$\frac{1}{\sqrt[3]{3^{3}}}$

解题步骤 9.2.3.5

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$\frac{1}{3}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{3}$

小数形式：

$0.\overline{3}$

微积分学 示例

微积分学示例