微积分学示例

$\int 6 x^{4} {(2 - 3 x^{5})}^{7} d x$

解题步骤 1

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$6 \int x^{4} {(2 - 3 x^{5})}^{7} d x$

解题步骤 2

使 $u = 2 - 3 x^{5}$ 。然后使 $d u = - 15 x^{4} d x$ ，以便 $- \frac{1}{15} d u = x^{4} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 2 - 3 x^{5}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $2 - 3 x^{5}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 - 3 x^{5}]$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $2 - 3 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

解题步骤 2.1.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$0 - 3 (5 x^{4})$

解题步骤 2.1.3.3

将 $5$ 乘以 $- 3$ 。

$0 - 15 x^{4}$

解题步骤 2.1.4

从 $0$ 中减去 $15 x^{4}$ 。

$- 15 x^{4}$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$6 \int u^{7} \frac{1}{- 15} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将负号移到分数的前面。

$6 \int u^{7} (- \frac{1}{15}) d u$

解题步骤 3.2

组合 $u^{7}$ 和 $\frac{1}{15}$ 。

$6 \int - \frac{u^{7}}{15} d u$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$6 (- \int \frac{u^{7}}{15} d u)$

解题步骤 5

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$- 6 \int \frac{u^{7}}{15} d u$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{15}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{15}$ 移到积分外。

$- 6 (\frac{1}{15} \int u^{7} d u)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{15}$ 和 $- 6$ 。

$\frac{- 6}{15} \int u^{7} d u$

解题步骤 7.2

约去 $- 6$ 和 $15$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 2)}{15} \int u^{7} d u$

解题步骤 7.2.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 5} \int u^{7} d u$

解题步骤 7.2.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 5} \int u^{7} d u$

解题步骤 7.2.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2}{5} \int u^{7} d u$

解题步骤 7.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{5} \int u^{7} d u$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{7}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{8} u^{8}$ 。

$- \frac{2}{5} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将 $- \frac{2}{5} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$ 重写为 $- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$ 。

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $\frac{1}{8}$ 乘以 $\frac{2}{5}$ 。

$- \frac{2}{8 \cdot 5} u^{8} + C$

解题步骤 9.2.2

将 $8$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{2}{40} u^{8} + C$

解题步骤 9.2.3

约去 $2$ 和 $40$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 (1)}{40} u^{8} + C$

解题步骤 9.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.2.1

从 $40$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 20} u^{8} + C$

解题步骤 9.2.3.2.2

约去公因数。

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 20} u^{8} + C$

解题步骤 9.2.3.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{20} u^{8} + C$

解题步骤 10

使用 $2 - 3 x^{5}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{20} {(2 - 3 x^{5})}^{8} + C$

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