微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

将 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}]$ 重写为 $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

将 $x^{3} + 3 x^{2}$ 重写为 $x^{2} (x + 3)$ 。

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解题步骤 1.1.1.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}]$

解题步骤 1.1.1.1.2

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}]$

解题步骤 1.1.1.1.3

从 $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} (x + 3)}]$

解题步骤 1.1.1.2

从根式下提出各项。

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$

解题步骤 1.1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 3}$ 重写成 ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.1.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 3$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 3$ 。

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.4.3

使用 $x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.7

在公分母上合并分子。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.8

化简分子。

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解题步骤 1.1.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.9

合并分数。

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解题步骤 1.1.9.1

将负号移到分数的前面。

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.9.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$x (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.9.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$x (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.9.4

组合 $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.10

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.12

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.13

化简表达式。

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解题步骤 1.1.13.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.13.2

将 $\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

解题步骤 1.1.15

将 ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.16

要将 ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.17

组合 ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.18

在公分母上合并分子。

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.19

通过指数相加将 ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.19.1

移动 ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.19.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.19.3

在公分母上合并分子。

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.19.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.19.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{x + {(x + 3)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.20

化简 ${(x + 3)}^{1} \cdot 2$ 。

$\frac{x + (x + 3) \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.21

将 $2$ 移到 $x + 3$ 的左侧。

$\frac{x + 2 \cdot (x + 3)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.22

化简。

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解题步骤 1.1.22.1

运用分配律。

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot 3}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.22.2

化简分子。

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解题步骤 1.1.22.2.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x + 2 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.22.2.2

将 $x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{3 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.22.3

从 $3 x + 6$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 1.1.22.3.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x) + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.22.3.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.22.3.3

从 $3 x + 3 \cdot 2$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = \frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$3 (x + 2) = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.3.1

将 $3 (x + 2) = 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1.1

将 $3 (x + 2) = 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 (x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.1.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 (x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.3.1.2.1.2

用 $x + 2$ 除以 $1$ 。

$x + 2 = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.3.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 3.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{{(x + 3)}^{1}}}$

解题步骤 3.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{x + 3}}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{x + 3}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$2 \sqrt{x + 3} = 0$

解题步骤 3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(2 \sqrt{x + 3})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 3}$ 重写成 ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

化简 ${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.2.1.1

对 $2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$2^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.3

将 ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$4 {(x + 3)}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.4

化简。

$4 (x + 3) = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.5

运用分配律。

$4 x + 4 \cdot 3 = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.2.1.6

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$4 x + 12 = 0^{2}$

解题步骤 3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 x + 12 = 0$

解题步骤 3.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

从等式两边同时减去 $12$ 。

$4 x = - 12$

解题步骤 3.3.3.2

将 $4 x = - 12$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 3.3.3.2.1

将 $4 x = - 12$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

解题步骤 3.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.3.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

解题步骤 3.3.3.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 12}{4}$

解题步骤 3.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.2.3.1

用 $- 12$ 除以 $4$ 。

$x = - 3$

解题步骤 3.4

将 $\sqrt{x + 3}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x + 3 < 0$

解题步骤 3.5

从不等式两边同时减去 $3$ 。

$x < - 3$

解题步骤 3.6

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = - 2$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $- 2$ 替换 $x$ 。

$\sqrt{{(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\sqrt{- 8 + 3 {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.2

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{- 8 + 3 \cdot 4}$

解题步骤 4.1.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\sqrt{- 8 + 12}$

解题步骤 4.1.2.4

将 $- 8$ 和 $12$ 相加。

$\sqrt{4}$

解题步骤 4.1.2.5

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\sqrt{2^{2}}$

解题步骤 4.1.2.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$2$

解题步骤 4.2

在 $x = - 3$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $- 3$ 替换 $x$ 。

$\sqrt{{(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\sqrt{- 27 + 3 {(- 3)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2.2

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{- 27 + 3 \cdot 9}$

解题步骤 4.2.2.3

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$\sqrt{- 27 + 27}$

解题步骤 4.2.2.4

将 $- 27$ 和 $27$ 相加。

$\sqrt{0}$

解题步骤 4.2.2.5

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\sqrt{0^{2}}$

解题步骤 4.2.2.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$0$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(- 2, 2), (- 3, 0)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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