微积分学示例

$f (x) = x^{4} + 4 x^{2} + 1$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{4} + 4 x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$4 x^{3} + 8 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.3.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} + 8 x + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $4 x^{3} + 8 x$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3} + 8 x$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 x^{3} + 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (8 x)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [8 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 8 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 8$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$4 x^{3} + 8 x = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} + 4 x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$4 x^{3} + 8 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} + 8 x + 0$

解题步骤 4.1.3.2

将 $4 x^{3} + 8 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 4 x^{3} + 8 x$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3} + 8 x$ 。

$4 x^{3} + 8 x$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} + 8 x = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} + 8 x = 0$

解题步骤 5.2

从 $4 x^{3} + 8 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) + 8 x = 0$

解题步骤 5.2.2

从 $8 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) + 4 x (2) = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $4 x (x^{2}) + 4 x (2)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2} + 2) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将 $x^{2} + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $x^{2} + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 2 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 2 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x^{2} = - 2$

解题步骤 5.5.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 2}$

解题步骤 5.5.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 2}$ 。

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解题步骤 5.5.2.3.1

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

解题步骤 5.5.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (2)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

解题步骤 5.5.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \sqrt{2}$

解题步骤 5.5.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.5.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i \sqrt{2}$

解题步骤 5.5.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i \sqrt{2}$

解题步骤 5.5.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

解题步骤 5.6

最终解为使 $4 x (x^{2} + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(0)}^{2} + 8$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$12 \cdot 0 + 8$

解题步骤 9.1.2

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$0 + 8$

解题步骤 9.2

将 $0$ 和 $8$ 相加。

$8$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 0$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{4} + 4 {(0)}^{2} + 1$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 4 {(0)}^{2} + 1$

解题步骤 11.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 4 \cdot 0 + 1$

解题步骤 11.2.1.3

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 1$

解题步骤 11.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 1$

解题步骤 11.2.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (0) = 1$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = x^{4} + 4 x^{2} + 1$ 的局部极值。

$(0, 1)$ 是一个局部最小值

解题步骤 13

微积分学 示例

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