微积分学示例

$f (x) = 1 + \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 1 + \frac{1}{x^{4}} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d x + \int \frac{1}{x^{4}} d x$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$x + C + \int \frac{1}{x^{4}} d x$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

通过将 $x^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$x + C + \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

解题步骤 5.2

将 ${(x^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x + C + \int x^{4 \cdot - 1} d x$

解题步骤 5.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$x + C + \int x^{- 4} d x$

$x + C + \int x^{- 4} d x$

$x + C + \int x^{- 4} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{- 4}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 。

$x + C - \frac{1}{3} x^{- 3} + C$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简。

$x - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{3}} + C$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$x - \frac{1}{x^{3} \cdot 3} + C$

解题步骤 7.2.2

将 $3$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$x - \frac{1}{3 x^{3}} + C$

$x - \frac{1}{3 x^{3}} + C$

$x - \frac{1}{3 x^{3}} + C$

解题步骤 8

答案是函数 $f (x) = 1 + \frac{1}{x^{4}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $x - \frac{1}{3 x^{3}} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$