微积分学示例

$v = \frac{4}{3} π r^{3}$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$v' = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d r} v' = \frac{d}{d r} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3}))$

解题步骤 3

$v'$ 对 $r$ 的导数为 $v''$ 。

$v''$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

合并分数。

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解题步骤 4.1.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{3}$ 。

$\frac{d}{d r} [\frac{π \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

解题步骤 4.1.2

组合 $\frac{π \cdot 4}{3}$ 和 $r^{3}$ 。

$\frac{d}{d r} [\frac{π \cdot 4 r^{3}}{3}]$

解题步骤 4.1.3

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{d}{d r} [\frac{4 \cdot π r^{3}}{3}]$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{4 π}{3}$ 对于 $r$ 是常数，所以 $\frac{4 π r^{3}}{3}$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{4 π}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$ 。

$\frac{4 π}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{4 π}{3} (3 r^{2})$

解题步骤 4.4

化简项。

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解题步骤 4.4.1

组合 $3$ 和 $\frac{4 π}{3}$ 。

$\frac{3 (4 π)}{3} r^{2}$

解题步骤 4.4.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{12 π}{3} r^{2}$

解题步骤 4.4.3

组合 $\frac{12 π}{3}$ 和 $r^{2}$ 。

$\frac{12 π r^{2}}{3}$

解题步骤 4.4.4

约去 $12$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.4.1

从 $12 π r^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 π r^{2})}{3}$

解题步骤 4.4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 4.4.4.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 π r^{2})}{3 (1)}$

解题步骤 4.4.4.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (4 π r^{2})}{3 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.4.2.3

重写表达式。

$\frac{4 π r^{2}}{1}$

解题步骤 4.4.4.2.4

用 $4 π r^{2}$ 除以 $1$ 。

$4 π r^{2}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$v'' = 4 π r^{2}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d v}{d r}$ 替换 $v'$ 。

$\frac{d v}{d r} = 4 π r^{2}$

微积分学 示例

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