微积分学示例

$y = {(2 x + 3)}^{3} \sqrt{4 x^{3} - 1}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{4 x^{3} - 1}$ 重写成 ${(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = {(2 x + 3)}^{3} {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(2 x + 3)}^{3} {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(2 x + 3)}^{3}$ 且 $g (x) = {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 4 x^{3} - 1$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 x^{3} - 1$ 。

${(2 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 1]) + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

${(2 x + 3)}^{3} (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 1]) + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

解题步骤 4.2.3

使用 $4 x^{3} - 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

${(2 x + 3)}^{3} (\frac{1}{2} {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 1]) + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

解题步骤 4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

${(2 x + 3)}^{3} (\frac{1}{2} {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 1]) + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

解题步骤 4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

${(2 x + 3)}^{3} (\frac{1}{2} {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 1]) + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

${(2 x + 3)}^{3} (\frac{1}{2} {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 1]) + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

${(2 x + 3)}^{3} (\frac{1}{2} {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 1]) + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

解题步骤 4.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

${(2 x + 3)}^{3} (\frac{1}{2} {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 1]) + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

解题步骤 4.7

合并分数。

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解题步骤 4.7.1

将负号移到分数的前面。

${(2 x + 3)}^{3} (\frac{1}{2} {(4 x^{3} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 1]) + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

解题步骤 4.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(4 x^{3} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

${(2 x + 3)}^{3} (\frac{{(4 x^{3} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 1]) + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

解题步骤 4.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(4 x^{3} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

${(2 x + 3)}^{3} (\frac{1}{2 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 1]) + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

解题步骤 4.7.4

组合 $\frac{1}{2 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 ${(2 x + 3)}^{3}$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{3}}{2 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 1] + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

解题步骤 4.8

根据加法法则， $4 x^{3} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{3}}{2 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

解题步骤 4.9

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{3}}{2 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

解题步骤 4.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{3}}{2 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

解题步骤 4.11

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{3}}{2 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

解题步骤 4.12

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{3}}{2 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (12 x^{2} + 0) + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

解题步骤 4.13

化简项。

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解题步骤 4.13.1

将 $12 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(2 x + 3)}^{3}}{2 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (12 x^{2}) + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

解题步骤 4.13.2

组合 $12$ 和 $\frac{{(2 x + 3)}^{3}}{2 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{3}}{2 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{2} + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

解题步骤 4.13.3

组合 $\frac{12 {(2 x + 3)}^{3}}{2 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{3} x^{2}}{2 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

解题步骤 4.13.4

从 $12 {(2 x + 3)}^{3} x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (6 {(2 x + 3)}^{3} x^{2})}{2 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

解题步骤 4.14

约去公因数。

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解题步骤 4.14.1

从 $2 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (6 {(2 x + 3)}^{3} x^{2})}{2 ({(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}})} + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

解题步骤 4.14.2

约去公因数。

$\frac{2 (6 {(2 x + 3)}^{3} x^{2})}{2 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

解题步骤 4.14.3

重写表达式。

$\frac{6 {(2 x + 3)}^{3} x^{2}}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{3}]$

解题步骤 4.15

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 2 x + 3$ 。

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解题步骤 4.15.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x + 3$ 。

$\frac{6 {(2 x + 3)}^{3} x^{2}}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

解题步骤 4.15.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{6 {(2 x + 3)}^{3} x^{2}}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

解题步骤 4.15.3

使用 $2 x + 3$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{6 {(2 x + 3)}^{3} x^{2}}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} (3 {(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

解题步骤 4.16

求微分。

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解题步骤 4.16.1

将 $3$ 移到 ${(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{6 {(2 x + 3)}^{3} x^{2}}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

解题步骤 4.16.2

根据加法法则， $2 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{6 {(2 x + 3)}^{3} x^{2}}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 4.16.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{6 {(2 x + 3)}^{3} x^{2}}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x + 3)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 4.16.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{6 {(2 x + 3)}^{3} x^{2}}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x + 3)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 4.16.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 {(2 x + 3)}^{3} x^{2}}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x + 3)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 4.16.6

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{6 {(2 x + 3)}^{3} x^{2}}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x + 3)}^{2} (2 + 0)$

解题步骤 4.16.7

化简表达式。

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解题步骤 4.16.7.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{6 {(2 x + 3)}^{3} x^{2}}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x + 3)}^{2} \cdot 2$

解题步骤 4.16.7.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 {(2 x + 3)}^{3} x^{2}}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 6 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x + 3)}^{2}$

解题步骤 4.17

要将 $6 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x + 3)}^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{6 {(2 x + 3)}^{3} x^{2}}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{6 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x + 3)}^{2} {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.18

在公分母上合并分子。

$\frac{6 {(2 x + 3)}^{3} x^{2} + 6 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(2 x + 3)}^{2} {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.19

通过指数相加将 ${(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.19.1

移动 ${(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{6 {(2 x + 3)}^{3} x^{2} + 6 ({(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}) {(2 x + 3)}^{2}}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.19.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{6 {(2 x + 3)}^{3} x^{2} + 6 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {(2 x + 3)}^{2}}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.19.3

在公分母上合并分子。

$\frac{6 {(2 x + 3)}^{3} x^{2} + 6 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} {(2 x + 3)}^{2}}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.19.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{6 {(2 x + 3)}^{3} x^{2} + 6 {(4 x^{3} - 1)}^{\frac{2}{2}} {(2 x + 3)}^{2}}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.19.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{6 {(2 x + 3)}^{3} x^{2} + 6 {(4 x^{3} - 1)}^{1} {(2 x + 3)}^{2}}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.20

化简 $6 {(4 x^{3} - 1)}^{1} {(2 x + 3)}^{2}$ 。

$\frac{6 {(2 x + 3)}^{3} x^{2} + 6 (4 x^{3} - 1) {(2 x + 3)}^{2}}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.21

化简。

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解题步骤 4.21.1

运用分配律。

$\frac{6 {(2 x + 3)}^{3} x^{2} + (6 (4 x^{3}) + 6 \cdot - 1) {(2 x + 3)}^{2}}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.21.2

化简分子。

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解题步骤 4.21.2.1

从 $6 {(2 x + 3)}^{3} x^{2} + (6 \cdot 4 x^{3} + 6 \cdot - 1) {(2 x + 3)}^{2}$ 中分解出因数 ${(2 x + 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.21.2.1.1

从 $6 {(2 x + 3)}^{3} x^{2}$ 中分解出因数 ${(2 x + 3)}^{2}$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (6 (2 x + 3) x^{2}) + (6 \cdot 4 x^{3} + 6 \cdot - 1) {(2 x + 3)}^{2}}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.21.2.1.2

从 $(6 \cdot 4 x^{3} + 6 \cdot - 1) {(2 x + 3)}^{2}$ 中分解出因数 ${(2 x + 3)}^{2}$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (6 (2 x + 3) x^{2}) + {(2 x + 3)}^{2} (6 \cdot 4 x^{3} + 6 \cdot - 1)}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.21.2.1.3

从 ${(2 x + 3)}^{2} (6 (2 x + 3) x^{2}) + {(2 x + 3)}^{2} (6 \cdot 4 x^{3} + 6 \cdot - 1)$ 中分解出因数 ${(2 x + 3)}^{2}$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (6 (2 x + 3) x^{2} + 6 \cdot 4 x^{3} + 6 \cdot - 1)}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.21.2.2

从 $6 (2 x + 3) x^{2} + 6 \cdot 4 x^{3} + 6 \cdot - 1$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 4.21.2.2.1

从 $6 (2 x + 3) x^{2}$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (6 ((2 x + 3) x^{2}) + 6 \cdot 4 x^{3} + 6 \cdot - 1)}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.21.2.2.2

从 $6 \cdot 4 x^{3}$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (6 ((2 x + 3) x^{2}) + 6 (4 x^{3}) + 6 \cdot - 1)}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.21.2.2.3

从 $6 \cdot - 1$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (6 ((2 x + 3) x^{2}) + 6 (4 x^{3}) + 6 (- 1))}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.21.2.2.4

从 $6 ((2 x + 3) x^{2}) + 6 (4 x^{3})$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (6 ((2 x + 3) x^{2} + 4 x^{3}) + 6 (- 1))}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.21.2.2.5

从 $6 ((2 x + 3) x^{2} + 4 x^{3}) + 6 (- 1)$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (6 ((2 x + 3) x^{2} + 4 x^{3} - 1))}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.21.2.3

运用分配律。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (6 (2 x \cdot x^{2} + 3 x^{2} + 4 x^{3} - 1))}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.21.2.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.21.2.4.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (6 (2 (x^{2} x) + 3 x^{2} + 4 x^{3} - 1))}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.21.2.4.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.21.2.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (6 (2 (x^{2} x^{1}) + 3 x^{2} + 4 x^{3} - 1))}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.21.2.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (6 (2 x^{2 + 1} + 3 x^{2} + 4 x^{3} - 1))}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.21.2.4.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} (6 (2 x^{3} + 3 x^{2} + 4 x^{3} - 1))}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.21.2.5

将 $2 x^{3}$ 和 $4 x^{3}$ 相加。

$\frac{{(2 x + 3)}^{2} \cdot 6 (6 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.21.3

将 $6$ 移到 ${(2 x + 3)}^{2}$ 的左侧。

$\frac{6 {(2 x + 3)}^{2} (6 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{6 {(2 x + 3)}^{2} (6 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 {(2 x + 3)}^{2} (6 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{{(4 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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