微积分学示例

$y = \sin (4 x - 7)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 4 x - 7$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x - 7$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

解题步骤 1.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

解题步骤 1.1.3

使用 $4 x - 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $4 x - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$\cos (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 1.2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 1.2.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\cos (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 1.2.5

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\cos (4 x - 7) (4 + 0)$

解题步骤 1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\cos (4 x - 7) \cdot 4$

解题步骤 1.2.6.2

将 $4$ 移到 $\cos (4 x - 7)$ 的左侧。

$f' (x) = 4 \cos (4 x - 7)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \cos (4 x - 7)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 4 x - 7$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x - 7$ 。

$4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

解题步骤 2.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

解题步骤 2.2.3

使用 $4 x - 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (- \sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 (\sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $4 x - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$- 4 \sin (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 2.3.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 2.3.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 2.3.6

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 4 \sin (4 x - 7) (4 + 0)$

解题步骤 2.3.7

化简表达式。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$- 4 \sin (4 x - 7) \cdot 4$

解题步骤 2.3.7.2

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = - 16 \sin (4 x - 7)$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16 \sin (4 x - 7)$ 对 $x$ 的导数是 $- 16 \frac{d}{d x} [\sin (4 x - 7)]$ 。

$- 16 \frac{d}{d x} [\sin (4 x - 7)]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 4 x - 7$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x - 7$ 。

$- 16 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

解题步骤 3.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$- 16 (\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

解题步骤 3.2.3

使用 $4 x - 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 16 (\cos (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

根据加法法则， $4 x - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$- 16 \cos (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 3.3.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 3.3.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 3.3.5

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 16 \cos (4 x - 7) (4 + 0)$

解题步骤 3.3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.3.6.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$- 16 \cos (4 x - 7) \cdot 4$

解题步骤 3.3.6.2

将 $4$ 乘以 $- 16$ 。

$f''' (x) = - 64 \cos (4 x - 7)$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

因为 $- 64$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 64 \cos (4 x - 7)$ 对 $x$ 的导数是 $- 64 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$ 。

$- 64 \frac{d}{d x} [\cos (4 x - 7)]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 4 x - 7$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 x - 7$ 。

$- 64 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

解题步骤 4.2.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$- 64 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

解题步骤 4.2.3

使用 $4 x - 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 64 (- \sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

解题步骤 4.3

求微分。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 64$ 。

$64 (\sin (4 x - 7) \frac{d}{d x} [4 x - 7])$

解题步骤 4.3.2

根据加法法则， $4 x - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$64 \sin (4 x - 7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 4.3.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$64 \sin (4 x - 7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 4.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$64 \sin (4 x - 7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 4.3.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$64 \sin (4 x - 7) (4 + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 4.3.6

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$64 \sin (4 x - 7) (4 + 0)$

解题步骤 4.3.7

化简表达式。

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解题步骤 4.3.7.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$64 \sin (4 x - 7) \cdot 4$

解题步骤 4.3.7.2

将 $4$ 乘以 $64$ 。

$f^{4} (x) = 256 \sin (4 x - 7)$

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