微积分学示例

$(\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x$

解题步骤 1

将 $(\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x$ 书写为一个函数。

$f (x) = (\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int (\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

组合 $\frac{5}{8}$ 和 $x^{4}$ 。

$\int (\frac{5 x^{4}}{8} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x d x$

解题步骤 4.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\int (\frac{5 x^{4}}{8} - 3 x^{2} + 2 \frac{1}{x}) d x d x$

解题步骤 4.1.3

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\int (\frac{5 x^{4}}{8} - 3 x^{2} + \frac{2}{x}) d x d x$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\int (\frac{5 x^{4}}{8} d - 3 x^{2} d + \frac{2}{x} d) x d x$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

组合 $\frac{5 x^{4}}{8}$ 和 $d$ 。

$\int (\frac{5 x^{4} d}{8} - 3 x^{2} d + \frac{2}{x} d) x d x$

解题步骤 4.3.2

组合 $\frac{2}{x}$ 和 $d$ 。

$\int (\frac{5 x^{4} d}{8} - 3 x^{2} d + \frac{2 d}{x}) x d x$

解题步骤 4.4

运用分配律。

$\int \frac{5 x^{4} d}{8} x - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

乘以 $\frac{5 x^{4} d}{8} x$ 。

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解题步骤 4.5.1.1

组合 $\frac{5 x^{4} d}{8}$ 和 $x$ 。

$\int \frac{5 x^{4} d x}{8} - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

解题步骤 4.5.1.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{5 d (x^{4} x^{1})}{8} - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

解题步骤 4.5.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{5 d x^{4 + 1}}{8} - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

解题步骤 4.5.1.4

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{2} d x + \frac{2 d}{x} x d x$

解题步骤 4.5.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.5.2.1

移动 $x$ 。

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 (x \cdot x^{2}) d + \frac{2 d}{x} x d x$

解题步骤 4.5.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.5.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 (x^{1} x^{2}) d + \frac{2 d}{x} x d x$

解题步骤 4.5.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{1 + 2} d + \frac{2 d}{x} x d x$

解题步骤 4.5.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{3} d + \frac{2 d}{x} x d x$

解题步骤 4.5.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.3.1

约去公因数。

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{3} d + \frac{2 d}{x} x d x$

解题步骤 4.5.3.2

重写表达式。

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} - 3 x^{3} d + 2 d d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{5 d x^{5}}{8} d x + \int - 3 x^{3} d d x + \int 2 d d x$

解题步骤 6

由于 $\frac{5 d}{8}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{5 d}{8}$ 移到积分外。

$\frac{5 d}{8} \int x^{5} d x + \int - 3 x^{3} d d x + \int 2 d d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{5}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{6} x^{6}$ 。

$\frac{5 d}{8} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int - 3 x^{3} d d x + \int 2 d d x$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $x^{6}$ 。

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) + \int - 3 x^{3} d d x + \int 2 d d x$

解题步骤 9

由于 $- 3 d$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 3 d$ 移到积分外。

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 d \int x^{3} d x + \int 2 d d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 d (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 2 d d x$

解题步骤 11

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 d (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int 2 d d x$

解题步骤 12

应用常数不变法则。

$\frac{5 d}{8} (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 d (\frac{x^{4}}{4} + C) + 2 d x + C$

解题步骤 13

化简。

$\frac{5 d x^{6}}{48} - \frac{3 d x^{4}}{4} + 2 d x + C$

解题步骤 14

去掉圆括号。

$\frac{5}{48} d x^{6} - \frac{3}{4} d x^{4} + 2 d x + C$

解题步骤 15

答案是函数 $f (x) = (\frac{5}{8} x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{- 1}) d x$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{5}{48} d x^{6} - \frac{3}{4} d x^{4} + 2 d x + C$

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