微积分学示例

$\int (2 - \frac{1}{x^{5}} + \frac{7}{x^{3}}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int 2 - \frac{1}{x^{5}} + \frac{7}{x^{3}} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x + \int \frac{7}{x^{3}} d x$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$2 x + C + \int - \frac{1}{x^{5}} d x + \int \frac{7}{x^{3}} d x$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 x + C - \int \frac{1}{x^{5}} d x + \int \frac{7}{x^{3}} d x$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

通过将 $x^{5}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$2 x + C - \int {(x^{5})}^{- 1} d x + \int \frac{7}{x^{3}} d x$

解题步骤 5.2

将 ${(x^{5})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 x + C - \int x^{5 \cdot - 1} d x + \int \frac{7}{x^{3}} d x$

解题步骤 5.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x + C - \int x^{- 5} d x + \int \frac{7}{x^{3}} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{- 5}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ 。

$2 x + C - (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int \frac{7}{x^{3}} d x$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $x^{- 4}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$2 x + C - (- \frac{x^{- 4}}{4} + C) + \int \frac{7}{x^{3}} d x$

解题步骤 7.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 4}$ 移动到分母。

$2 x + C - (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int \frac{7}{x^{3}} d x$

解题步骤 8

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$2 x + C - (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + 7 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

解题步骤 9

应用指数的基本规则。

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解题步骤 9.1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$2 x + C - (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + 7 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 9.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 x + C - (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + 7 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 9.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x + C - (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + 7 \int x^{- 3} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$2 x + C - (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + 7 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简。

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解题步骤 11.1.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 x + C - (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + 7 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

解题步骤 11.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$2 x + C - (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + 7 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

解题步骤 11.2

化简。

$2 x + \frac{1}{4 x^{4}} + 7 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

解题步骤 11.3

化简。

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解题步骤 11.3.1

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$2 x + \frac{1}{4 x^{4}} - 7 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 11.3.2

组合 $- 7$ 和 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 。

$2 x + \frac{1}{4 x^{4}} + \frac{- 7}{2 x^{2}} + C$

解题步骤 11.3.3

将负号移到分数的前面。

$2 x + \frac{1}{4 x^{4}} - \frac{7}{2 x^{2}} + C$

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