微积分学示例

$S (t) = 2 t^{\frac{3}{2}} - 9 t + 6$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $2 t^{\frac{3}{2}} - 9 t + 6$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2 t^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$ 。

$\frac{d}{d t} [2 t^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d t} [2 t^{\frac{3}{2}}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t^{\frac{3}{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 1.2.5

在公分母上合并分子。

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 1.2.6

化简分子。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 1.2.6.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$2 (\frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 1.2.7

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 1.2.8

组合 $2$ 和 $\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 1.2.9

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 1.2.10

从 $6 t^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 1.2.11

约去公因数。

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解题步骤 1.2.11.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 1.2.11.2

约去公因数。

$\frac{2 (3 t^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 1.2.11.3

重写表达式。

$\frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 1.2.11.4

用 $3 t^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [- 9 t] + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d t} [- 9 t]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 9$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 9 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 1.3.3

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 + \frac{d}{d t} [6]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以 $6$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$3 t^{\frac{1}{2}} - 9 + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $3 t^{\frac{1}{2}} - 9$ 和 $0$ 相加。

$f' (t) = 3 t^{\frac{1}{2}} - 9$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 t^{\frac{1}{2}} - 9$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [3 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ 。

$\frac{d}{d t} [3 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d t} [3 t^{\frac{1}{2}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t^{\frac{1}{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ 。

$3 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

解题步骤 2.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

解题步骤 2.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

解题步骤 2.2.5

在公分母上合并分子。

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

解题步骤 2.2.6

化简分子。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

解题步骤 2.2.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$3 (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

解题步骤 2.2.7

将负号移到分数的前面。

$3 (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- 9]$

解题步骤 2.2.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

$3 \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9]$

解题步骤 2.2.9

组合 $3$ 和 $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{3 t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- 9]$

解题步骤 2.2.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $t^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 9]$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 9$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (t) = \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3

$S (t)$ 对 $t$ 的二阶导数是 $\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

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