微积分学示例

$\int \frac{3}{\sqrt{x^{5}}} d x$

解题步骤 1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \frac{1}{\sqrt{x^{5}}} d x$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{5}}$ 重写成 $x^{\frac{5}{2}}$ 。

$3 \int \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} d x$

解题步骤 2.2

通过将 $x^{\frac{5}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$3 \int {(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.3

将 ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \int x^{\frac{5}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.3.2

乘以 $\frac{5}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $- 1$ 。

$3 \int x^{\frac{5 \cdot - 1}{2}} d x$

解题步骤 2.3.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$3 \int x^{\frac{- 5}{2}} d x$

解题步骤 2.3.3

将负号移到分数的前面。

$3 \int x^{- \frac{5}{2}} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{- \frac{5}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}}$ 。

$3 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简。

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解题步骤 4.1.1

组合 $x^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$3 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}} \cdot 2}{3} + C)$

解题步骤 4.1.2

将 $2$ 移到 $x^{- \frac{3}{2}}$ 的左侧。

$3 (- \frac{2 \cdot x^{- \frac{3}{2}}}{3} + C)$

解题步骤 4.1.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$3 (- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}} + C)$

解题步骤 4.2

化简。

$3 (- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}) + C$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}} + C$

解题步骤 4.3.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{- 3 \cdot 2}{3 x^{\frac{3}{2}}} + C$

解题步骤 4.3.3

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 6}{3 x^{\frac{3}{2}}} + C$

解题步骤 4.3.4

从 $- 6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot - 2}{3 x^{\frac{3}{2}}} + C$

解题步骤 4.3.5

约去公因数。

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解题步骤 4.3.5.1

从 $3 x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot - 2}{3 (x^{\frac{3}{2}})} + C$

解题步骤 4.3.5.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot - 2}{3 x^{\frac{3}{2}}} + C$

解题步骤 4.3.5.3

重写表达式。

$\frac{- 2}{x^{\frac{3}{2}}} + C$

解题步骤 4.3.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + C$

微积分学 示例

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