微积分学示例

$\int x (\sqrt{x} + \frac{2}{x^{3}}) d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$\int x \sqrt{x} + x \frac{2}{x^{3}} d x$

解题步骤 1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int x \sqrt{x} + x \frac{2}{x \cdot x^{2}} d x$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\int x \sqrt{x} + x \frac{2}{x \cdot x^{2}} d x$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\int x \sqrt{x} + \frac{2}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.3

在公分母上合并分子。

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{x^{2}} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int \frac{2}{x^{2}} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int \frac{2}{x^{2}} d x$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 6

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 6.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 2 \int x^{- 2} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 2 (- x^{- 1} + C)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 2 (- x^{- 1}) + C$

解题步骤 8.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 2 x^{- 1} + C$

微积分学 示例

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