微积分学示例

$y = \frac{1}{3 x^{5} - 2 x}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{3 x^{5} - 2 x}$ 重写为 ${(3 x^{5} - 2 x)}^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(3 x^{5} - 2 x)}^{- 1}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = 3 x^{5} - 2 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x^{5} - 2 x$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 2 x]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 2 x]$

解题步骤 2.3

使用 $3 x^{5} - 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x^{5} - 2 x]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 x^{5} - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 3.4

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 3.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (15 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (15 x^{4} - 2 \cdot 1)$

解题步骤 3.7

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- {(3 x^{5} - 2 x)}^{- 2} (15 x^{4} - 2)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}} (15 x^{4} - 2)$

解题步骤 4.2

重新排序 $- \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}} (15 x^{4} - 2)$ 的因式。

$- (15 x^{4} - 2) \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}}$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$(- (15 x^{4}) - - 2) \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}}$

解题步骤 4.4

将 $15$ 乘以 $- 1$ 。

$(- 15 x^{4} - - 2) \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}}$

解题步骤 4.5

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{{(3 x^{5} - 2 x)}^{2}}$

解题步骤 4.6

化简分母。

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解题步骤 4.6.1

从 $3 x^{5} - 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.6.1.1

从 $3 x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{{(x (3 x^{4}) - 2 x)}^{2}}$

解题步骤 4.6.1.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{{(x (3 x^{4}) + x \cdot - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.6.1.3

从 $x (3 x^{4}) + x \cdot - 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{{(x (3 x^{4} - 2))}^{2}}$

解题步骤 4.6.2

对 $x (3 x^{4} - 2)$ 运用乘积法则。

$(- 15 x^{4} + 2) \frac{1}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.7

将 $- 15 x^{4} + 2$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$ 。

$\frac{- 15 x^{4} + 2}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.8

从 $- 15 x^{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (15 x^{4}) + 2}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.9

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$\frac{- (15 x^{4}) - 1 (- 2)}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.10

从 $- (15 x^{4}) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (15 x^{4} - 2)}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.11

将 $- (15 x^{4} - 2)$ 重写为 $- 1 (15 x^{4} - 2)$ 。

$\frac{- 1 (15 x^{4} - 2)}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

解题步骤 4.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{15 x^{4} - 2}{x^{2} {(3 x^{4} - 2)}^{2}}$

微积分学 示例

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