微积分学示例

$\int (\frac{x^{3} + \sqrt{x}}{x^{5}}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int \frac{x^{3} + \sqrt{x}}{x^{5}} d x$

解题步骤 2

通过将 $x^{5}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (x^{3} + \sqrt{x}) {(x^{5})}^{- 1} d x$

解题步骤 3

将 ${(x^{5})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (x^{3} + \sqrt{x}) x^{5 \cdot - 1} d x$

解题步骤 3.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (x^{3} + \sqrt{x}) x^{- 5} d x$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int (x^{3} + x^{\frac{1}{2}}) x^{- 5} d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\int x^{3} x^{- 5} + x^{\frac{1}{2}} x^{- 5} d x$

解题步骤 5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{3 - 5} + x^{\frac{1}{2}} x^{- 5} d x$

解题步骤 5.3

从 $3$ 中减去 $5$ 。

$\int x^{- 2} + x^{\frac{1}{2}} x^{- 5} d x$

解题步骤 5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{- 2} + x^{\frac{1}{2} - 5} d x$

解题步骤 5.5

要将 $- 5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int x^{- 2} + x^{\frac{1}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2}} d x$

解题步骤 5.6

组合 $- 5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int x^{- 2} + x^{\frac{1}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2}} d x$

解题步骤 5.7

在公分母上合并分子。

$\int x^{- 2} + x^{\frac{1 - 5 \cdot 2}{2}} d x$

解题步骤 5.8

化简分子。

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解题步骤 5.8.1

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$\int x^{- 2} + x^{\frac{1 - 10}{2}} d x$

解题步骤 5.8.2

从 $1$ 中减去 $10$ 。

$\int x^{- 2} + x^{\frac{- 9}{2}} d x$

解题步骤 6

将负号移到分数的前面。

$\int x^{- 2} + x^{- \frac{9}{2}} d x$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{- 2} d x + \int x^{- \frac{9}{2}} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$- x^{- 1} + C + \int x^{- \frac{9}{2}} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{- \frac{9}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{2}{7} x^{- \frac{7}{2}}$ 。

$- x^{- 1} + C - \frac{2}{7} x^{- \frac{7}{2}} + C$

解题步骤 10

化简。

$- \frac{1}{x} - \frac{2}{7} x^{- \frac{7}{2}} + C$

微积分学 示例

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