微积分学示例

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.2

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 1.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 1.4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.4.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 1.4.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 1.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 1.4.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 1.4.2.2.3

约去公因数。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 1.4.2.2.4

重写表达式。

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 1.4.2.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 1.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 1.4.4

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.4.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

解题步骤 1.4.4.2

从 $x - 2 \ln (x) x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.4.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

解题步骤 1.4.4.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

解题步骤 1.4.4.2.3

从 $- 2 \ln (x) x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

解题步骤 1.4.4.2.4

从 $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

解题步骤 1.5

约去公因数。

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解题步骤 1.5.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 1.5.2

约去公因数。

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 1.5.3

重写表达式。

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

解题步骤 1.6

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (x)$ 。

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 - \ln (x^{2})$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

将 ${(x^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 2.2.2

根据加法法则， $1 - \ln (x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 2.2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{3} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 2.2.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ 相加。

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 2.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 2.3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 2.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.4.1

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 2.4.2

约去 $x^{3}$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 2.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.1

乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 2.4.2.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 2.4.2.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 2.4.2.2.4

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- x \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 2.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{- x (2 x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 2.4.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x \cdot x - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) (3 x^{2})}{x^{6}}$

解题步骤 2.10

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.10.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 2.10.2

从 $- 2 x^{2} - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.10.2.1

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 2.10.2.2

从 $- 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

解题步骤 2.10.2.3

从 $x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (1 - \ln (x^{2})))$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

解题步骤 2.11

约去公因数。

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解题步骤 2.11.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

解题步骤 2.11.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

解题步骤 2.11.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

解题步骤 2.12

化简。

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解题步骤 2.12.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 \cdot 1 - 3 (- \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

解题步骤 2.12.2

化简分子。

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解题步骤 2.12.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.12.2.1.1

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 - 3 (- \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

解题步骤 2.12.2.1.2

乘以 $- 3 (- \ln (x^{2}))$ 。

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解题步骤 2.12.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + 3 \ln (x^{2})}{x^{4}}$

解题步骤 2.12.2.1.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (x^{2})$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln ({(x^{2})}^{3})}{x^{4}}$

解题步骤 2.12.2.1.3

将 ${(x^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.12.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln (x^{2 \cdot 3})}{x^{4}}$

解题步骤 2.12.2.1.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

解题步骤 2.12.2.2

从 $- 2$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{- 5 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

解题步骤 2.12.3

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

解题步骤 2.12.4

从 $\ln (x^{6})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \ln (x^{6}))}{x^{4}}$

解题步骤 2.12.5

从 $- 1 (5) - 1 (- \ln (x^{6}))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 1 (5 - \ln (x^{6}))}{x^{4}}$

解题步骤 2.12.6

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{5 - \ln (x^{6})}{x^{4}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.1.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.1.4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1.4.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.1.4.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.1.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.1.4.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.1.4.2.2.3

约去公因数。

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.1.4.2.2.4

重写表达式。

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.1.4.2.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.1.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 4.1.4.4

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.1.4.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

解题步骤 4.1.4.4.2

从 $x - 2 \ln (x) x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.1.4.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

解题步骤 4.1.4.4.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

解题步骤 4.1.4.4.2.3

从 $- 2 \ln (x) x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

解题步骤 4.1.4.4.2.4

从 $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

解题步骤 4.1.5

约去公因数。

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解题步骤 4.1.5.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 4.1.5.2

约去公因数。

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 4.1.5.3

重写表达式。

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

解题步骤 4.1.6

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (x)$ 。

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ 。

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$1 - \ln (x^{2}) = 0$

解题步骤 5.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \ln (x^{2}) = - 1$

解题步骤 5.3.2

将 $- \ln (x^{2}) = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $- \ln (x^{2}) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \ln (x^{2})}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\ln (x^{2})}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.2.2

用 $\ln (x^{2})$ 除以 $1$ 。

$\ln (x^{2}) = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$\ln (x^{2}) = 1$

解题步骤 5.3.3

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x^{2})} = e^{1}$

解题步骤 5.3.4

使用对数的定义将 $\ln (x^{2}) = 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{1} = x^{2}$

解题步骤 5.3.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.5.1

将方程重写为 $x^{2} = e^{1}$ 。

$x^{2} = e$

解题步骤 5.3.5.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{e^{1}}$

解题步骤 5.3.5.3

化简。

$x = \pm \sqrt{e}$

解题步骤 5.3.5.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.3.5.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{e}$

解题步骤 5.3.5.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{e}$

解题步骤 5.3.5.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{e}, - \sqrt{e}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{3} = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 6.2.2

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 6.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 6.3

将 $\ln (x^{2})$ 中的参数设为小于等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} \leq 0$

解题步骤 6.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.4.1

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{0}$

解题步骤 6.4.2

化简方程。

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解题步骤 6.4.2.1

化简左边。

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解题步骤 6.4.2.1.1

从根式下提出各项。

$| x | \leq \sqrt{0}$

解题步骤 6.4.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.4.2.2.1

化简 $\sqrt{0}$ 。

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解题步骤 6.4.2.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$| x | \leq \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 6.4.2.2.1.2

从根式下提出各项。

$| x | \leq | 0 |$

解题步骤 6.4.2.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $0$ 之间的距离为 $0$ 。

$| x | \leq 0$

解题步骤 6.4.3

将 $| x | \leq 0$ 书写为分段式。

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解题步骤 6.4.3.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 6.4.3.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \leq 0$

解题步骤 6.4.3.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 6.4.3.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \leq 0$

解题步骤 6.4.3.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 6.4.4

求 $x \leq 0$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$x = 0$

解题步骤 6.4.5

当 $x < 0$ 时求解 $- x \leq 0$ 。

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解题步骤 6.4.5.1

将 $- x \leq 0$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.4.5.1.1

将 $- x \leq 0$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

解题步骤 6.4.5.1.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.5.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

解题步骤 6.4.5.1.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{0}{- 1}$

解题步骤 6.4.5.1.3

化简右边。

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解题步骤 6.4.5.1.3.1

用 $0$ 除以 $- 1$ 。

$x \geq 0$

解题步骤 6.4.5.2

求 $x \geq 0$ 和 $x < 0$ 的交点。

无解

解题步骤 6.4.6

求解的并集。

$x = 0$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \sqrt{e}$

解题步骤 8

计算在 $x = \sqrt{e}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{5 - \ln ({(\sqrt{e})}^{6})}{{(\sqrt{e})}^{4}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

将 ${\sqrt{e}}^{6}$ 重写为 $e^{3}$ 。

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解题步骤 9.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{e}$ 重写成 $e^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{5 - \ln ({(e^{\frac{1}{2}})}^{6})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

解题步骤 9.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{1}{2} \cdot 6})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

解题步骤 9.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $6$ 。

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{6}{2}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

解题步骤 9.1.1.4

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

解题步骤 9.1.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

解题步骤 9.1.1.4.2.2

约去公因数。

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

解题步骤 9.1.1.4.2.3

重写表达式。

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{3}{1}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

解题步骤 9.1.1.4.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$- \frac{5 - \ln (e^{3})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

解题步骤 9.1.2

使用对数规则把 $3$ 移到指数外部。

$- \frac{5 - (3 \ln (e))}{{\sqrt{e}}^{4}}$

解题步骤 9.1.3

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$- \frac{5 - (3 \cdot 1)}{{\sqrt{e}}^{4}}$

解题步骤 9.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{5 - 1 \cdot 3}{{\sqrt{e}}^{4}}$

解题步骤 9.1.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{5 - 3}{{\sqrt{e}}^{4}}$

解题步骤 9.1.6

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{2}{{\sqrt{e}}^{4}}$

解题步骤 9.2

将 ${\sqrt{e}}^{4}$ 重写为 $e^{2}$ 。

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解题步骤 9.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{e}$ 重写成 $e^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{2}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

解题步骤 9.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{2}{e^{\frac{1}{2} \cdot 4}}$

解题步骤 9.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$- \frac{2}{e^{\frac{4}{2}}}$

解题步骤 9.2.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}$

解题步骤 9.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}$

解题步骤 9.2.4.2.2

约去公因数。

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}$

解题步骤 9.2.4.2.3

重写表达式。

$- \frac{2}{e^{\frac{2}{1}}}$

解题步骤 9.2.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$- \frac{2}{e^{2}}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \sqrt{e}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \sqrt{e}$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = \sqrt{e}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\sqrt{e}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{{(\sqrt{e})}^{2}}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

将 ${\sqrt{e}}^{2}$ 重写为 $e$ 。

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解题步骤 11.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{e}$ 重写成 $e^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 11.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 11.2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 11.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.4.1

约去公因数。

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 11.2.1.4.2

重写表达式。

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

解题步骤 11.2.1.5

化简。

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

解题步骤 11.2.2

最终答案为 $\frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$ 。

$y = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$ 的局部极值。

$(\sqrt{e}, \frac{\ln (\sqrt{e})}{e})$ 是一个局部最大值

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例