微积分学示例

$\int - \csc^{2} (x) \cot^{3} (x) d x$

解题步骤 1

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \csc^{2} (x) \cot^{3} (x) d x$

解题步骤 2

使 $u = \cot (x)$ 。然后使 $d u = - \csc^{2} (x) d x$ ，以便 $- \frac{1}{\csc^{2} (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = \cot (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\cot (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\cot (x)]$

解题步骤 2.1.2

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$- \csc^{2} (x)$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- \int - 1 u^{3} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- - \int u^{3} d u$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \int u^{3} d u$

解题步骤 4.2

将 $\int u^{3} d u$ 乘以 $1$ 。

$\int u^{3} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$\frac{1}{4} u^{4} + C$

解题步骤 6

使用 $\cot (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4} \cot^{4} (x) + C$

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