微积分学示例

$\int \frac{12 x^{2}}{2 x + 1} d x$

解题步骤 1

由于 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$12 \int \frac{x^{2}}{2 x + 1} d x$

解题步骤 2

用 $x^{2}$ 除以 $2 x + 1$ 。

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解题步骤 2.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 2.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

					$\frac{x}{2}$
	$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

解题步骤 2.3

将新的商式项乘以除数。

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{x}{2}$

解题步骤 2.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + \frac{x}{2}$ 中的所有符号

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$

解题步骤 2.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$

解题步骤 2.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$	+	$0$

解题步骤 2.7

将被除数中的最高阶项 $- \frac{x}{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$	+	$0$

解题步骤 2.8

将新的商式项乘以除数。

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$	+	$0$
					-	$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$

解题步骤 2.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- \frac{x}{2} - \frac{1}{4}$ 中的所有符号

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$	+	$0$
					+	$\frac{x}{2}$	+	$\frac{1}{4}$

解题步骤 2.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$	+	$0$
					+	$\frac{x}{2}$	+	$\frac{1}{4}$
							+	$\frac{1}{4}$

解题步骤 2.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$12 \int \frac{x}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$12 (\int \frac{x}{2} d x + \int - \frac{1}{4} d x + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$12 (\frac{1}{2} \int x d x + \int - \frac{1}{4} d x + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

解题步骤 5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{1}{4} d x + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

解题步骤 7.2

组合 $x$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

解题步骤 8

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

解题步骤 9

使 $u = 2 x + 1$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u = 2 x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 $2 x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

解题步骤 9.1.2

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 9.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 9.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 9.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 9.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 9.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 9.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 9.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 9.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

解题步骤 10.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u} d u)$

解题步骤 11

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 12.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 13

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{8} (\ln (| u |) + C))$

解题步骤 14

化简。

$12 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + \frac{\ln (| u |)}{8}) + C$

解题步骤 15

使用 $2 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$12 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

要将 $\frac{x^{2}}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

解题步骤 16.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 16.2.1

将 $\frac{x^{2}}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

解题步骤 16.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{8} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

解题步骤 16.3

在公分母上合并分子。

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2 + \ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

解题步骤 16.4

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

解题步骤 16.5

运用分配律。

$12 (- \frac{x}{4}) + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

解题步骤 16.6

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 16.6.1

将 $- \frac{x}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$12 \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

解题步骤 16.6.2

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (3) \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

解题步骤 16.6.3

约去公因数。

$4 \cdot 3 \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

解题步骤 16.6.4

重写表达式。

$3 (- x) + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

解题步骤 16.7

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 x + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

解题步骤 16.8

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 16.8.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$- 3 x + 4 (3) \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

解题步骤 16.8.2

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$- 3 x + 4 \cdot 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{4 \cdot 2} + C$

解题步骤 16.8.3

约去公因数。

$- 3 x + 4 \cdot 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{4 \cdot 2} + C$

解题步骤 16.8.4

重写表达式。

$- 3 x + 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

解题步骤 16.9

组合 $3$ 和 $\frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{2}$ 。

$- 3 x + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

解题步骤 16.10

要将 $- 3 x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 3 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

解题步骤 16.11

组合 $- 3 x$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 3 x \cdot 2}{2} + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

解题步骤 16.12

在公分母上合并分子。

$\frac{- 3 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

解题步骤 16.13

化简分子。

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解题步骤 16.13.1

从 $- 3 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 16.13.1.1

从 $- 3 x \cdot 2$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x \cdot 2) + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

解题步骤 16.13.1.2

从 $3 (- x \cdot 2) + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x \cdot 2 + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

解题步骤 16.13.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 (- 2 x + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

解题步骤 16.14

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (2 x) + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

解题步骤 16.15

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (2 x) - (- 2 x^{2}) + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

解题步骤 16.16

从 $- (2 x) - (- 2 x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2}) + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

解题步骤 16.17

从 $\ln (| 2 x + 1 |)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2}) - 1 (- \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

解题步骤 16.18

从 $- (2 x - 2 x^{2}) - 1 (- \ln (| 2 x + 1 |))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

解题步骤 16.19

将 $- (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))$ 重写为 $- 1 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))$ 。

$\frac{3 (- 1 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

解题步骤 16.20

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

解题步骤 17

重新排序项。

$- \frac{3}{2} (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

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