微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

化简。

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解题步骤 3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{1}{x^{1} x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 3.1.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{1}{x^{1 + \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 3.1.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 3.1.2.3

在公分母上合并分子。

$\int \frac{1}{x^{\frac{2 + 1}{2}}} d x$

解题步骤 3.1.2.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

解题步骤 3.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.2.1

通过将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 3.2.2

将 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 3.2.2.2

乘以 $\frac{3}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.2.2.2.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x$

解题步骤 3.2.2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

解题步骤 3.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$\int x^{- \frac{3}{2}} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{- \frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

将 $- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$ 重写为 $- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$ 。

$- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 5.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

解题步骤 6

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

微积分学 示例

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