微积分学示例

$\int_{- 3}^{5} [2 y - (y^{2} - 15)] d y$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{- 3}^{5} 2 y - (y^{2} - 15) d y$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 3}^{5} 2 y d y + \int_{- 3}^{5} - (y^{2} - 15) d y$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{- 3}^{5} y d y + \int_{- 3}^{5} - (y^{2} - 15) d y$

解题步骤 4

根据幂法则， $y$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{2} y^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - (y^{2} - 15) d y$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{2}$ 。

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - (y^{2} - 15) d y$

解题步骤 6

乘以 $- (y^{2} - 15)$ 。

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - y^{2} - - 15 d y$

解题步骤 7

将 $- 1$ 乘以 $- 15$ 。

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - y^{2} + 15 d y$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} - y^{2} d y + \int_{- 3}^{5} 15 d y$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) - \int_{- 3}^{5} y^{2} d y + \int_{- 3}^{5} 15 d y$

解题步骤 10

根据幂法则， $y^{2}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{1}{3} y^{3}$ 。

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} 15 d y$

解题步骤 11

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{3}$ 。

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) + \int_{- 3}^{5} 15 d y$

解题步骤 12

应用常数不变法则。

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 3}^{5}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) + 15 y]_{- 3}^{5}$

解题步骤 13

代入并化简。

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解题步骤 13.1

计算 $\frac{y^{2}}{2}$ 在 $5$ 处和在 $- 3$ 处的值。

$2 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 3}^{5}) + 15 y]_{- 3}^{5}$

解题步骤 13.2

计算 $\frac{y^{3}}{3}$ 在 $5$ 处和在 $- 3$ 处的值。

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 15 y]_{- 3}^{5}$

解题步骤 13.3

计算 $15 y$ 在 $5$ 处和在 $- 3$ 处的值。

$2 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4

化简。

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解题步骤 13.4.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 (\frac{25}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.2

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 (\frac{25}{2} - \frac{9}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.3

在公分母上合并分子。

$2 \frac{25 - 9}{2} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.4

从 $25$ 中减去 $9$ 。

$2 (\frac{16}{2}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.5

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.4.5.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{2 \cdot 8}{2} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.5.2

约去公因数。

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解题步骤 13.4.5.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.5.2.2

约去公因数。

$2 \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.5.2.3

重写表达式。

$2 (\frac{8}{1}) - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.5.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$2 \cdot 8 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.6

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$16 - (\frac{5^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.7

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$16 - (\frac{125}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.8

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$16 - (\frac{125}{3} - \frac{- 27}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.9

约去 $- 27$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.4.9.1

从 $- 27$ 中分解出因数 $3$ 。

$16 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.9.2

约去公因数。

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解题步骤 13.4.9.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$16 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.9.2.2

约去公因数。

$16 - (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.9.2.3

重写表达式。

$16 - (\frac{125}{3} - \frac{- 9}{1}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.9.2.4

用 $- 9$ 除以 $1$ 。

$16 - (\frac{125}{3} - - 9) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.10

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$16 - (\frac{125}{3} + 9) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.11

要将 $9$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$16 - (\frac{125}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.12

组合 $9$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$16 - (\frac{125}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3}) + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.13

在公分母上合并分子。

$16 - \frac{125 + 9 \cdot 3}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.14

化简分子。

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解题步骤 13.4.14.1

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$16 - \frac{125 + 27}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.14.2

将 $125$ 和 $27$ 相加。

$16 - \frac{152}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.15

要将 $16$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{152}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.16

组合 $16$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{152}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.17

在公分母上合并分子。

$\frac{16 \cdot 3 - 152}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.18

化简分子。

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解题步骤 13.4.18.1

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$\frac{48 - 152}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.18.2

从 $48$ 中减去 $152$ 。

$\frac{- 104}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.19

将负号移到分数的前面。

$- \frac{104}{3} + (15 \cdot 5) - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.20

将 $15$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{104}{3} + 75 - 15 \cdot - 3$

解题步骤 13.4.21

将 $- 15$ 乘以 $- 3$ 。

$- \frac{104}{3} + 75 + 45$

解题步骤 13.4.22

将 $75$ 和 $45$ 相加。

$- \frac{104}{3} + 120$

解题步骤 13.4.23

要将 $120$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{104}{3} + 120 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 13.4.24

组合 $120$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{104}{3} + \frac{120 \cdot 3}{3}$

解题步骤 13.4.25

在公分母上合并分子。

$\frac{- 104 + 120 \cdot 3}{3}$

解题步骤 13.4.26

化简分子。

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解题步骤 13.4.26.1

将 $120$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 104 + 360}{3}$

解题步骤 13.4.26.2

将 $- 104$ 和 $360$ 相加。

$\frac{256}{3}$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{256}{3}$

小数形式：

$85.\overline{3}$

带分数形式：

$85 \frac{1}{3}$

解题步骤 15

微积分学 示例

微积分学示例