微积分学示例

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} x + \cos (x) d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} x d x + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

解题步骤 2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

解题步骤 3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \sin (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ 和 $\sin (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + \sin (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{1}{2} x^{2} + \sin (x)$ 在 $\frac{π}{2}$ 处和在 $\frac{π}{6}$ 处的值。

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \sin (\frac{π}{6}))$

解题步骤 4.3

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解题步骤 4.3.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \sin (\frac{π}{6}))$

解题步骤 4.3.2

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

解题步骤 4.4

化简。

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解题步骤 4.4.1

对 $\frac{π}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

解题步骤 4.4.2

合并。

$\frac{1 π^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

解题步骤 4.4.3

将 $π^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{π^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

解题步骤 4.4.4

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{2}$ 。

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解题步骤 4.4.4.1

将 $2$ 乘以 $2^{2}$ 。

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解题步骤 4.4.4.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{π^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

解题步骤 4.4.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{π^{2}}{2^{1 + 2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

解题步骤 4.4.4.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{6})}^{2} + \frac{1}{2})$

解题步骤 4.4.5

对 $\frac{π}{6}$ 运用乘积法则。

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{6^{2}} + \frac{1}{2})$

解题步骤 4.4.6

合并。

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1 π^{2}}{2 \cdot 6^{2}} + \frac{1}{2})$

解题步骤 4.4.7

将 $π^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{2 \cdot 6^{2}} + \frac{1}{2})$

解题步骤 4.4.8

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{2 \cdot 36} + \frac{1}{2})$

解题步骤 4.4.9

将 $2$ 乘以 $36$ 。

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{72} + \frac{1}{2})$

解题步骤 4.4.10

运用分配律。

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - \frac{π^{2}}{72} - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.4.11

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{π^{2}}{8} + 1 - \frac{π^{2}}{72} - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.4.12

要将 $\frac{π^{2}}{8}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{π^{2}}{8} \cdot \frac{9}{9} - \frac{π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.4.13

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $72$ 的形式。

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解题步骤 4.4.13.1

将 $\frac{π^{2}}{8}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{π^{2} \cdot 9}{8 \cdot 9} - \frac{π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.4.13.2

将 $8$ 乘以 $9$ 。

$\frac{π^{2} \cdot 9}{72} - \frac{π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.4.14

在公分母上合并分子。

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.4.15

从 $π^{2} \cdot 9$ 中减去 $π^{2}$ 。

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解题步骤 4.4.15.1

将 $π^{2}$ 和 $9$ 重新排序。

$\frac{9 \cdot π^{2} - π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.4.15.2

从 $9 \cdot π^{2}$ 中减去 $π^{2}$ 。

$\frac{8 \cdot π^{2}}{72} + 1 - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.4.16

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{8 \cdot π^{2}}{72} + \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.4.17

在公分母上合并分子。

$\frac{8 \cdot π^{2}}{72} + \frac{2 - 1}{2}$

解题步骤 4.4.18

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{8 \cdot π^{2}}{72} + \frac{1}{2}$

解题步骤 5

约去 $8$ 和 $72$ 的公因数。

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解题步骤 5.1

从 $8 \cdot π^{2}$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (π^{2})}{72} + \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $72$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 π^{2}}{8 \cdot 9} + \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

$\frac{8 π^{2}}{8 \cdot 9} + \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3

重写表达式。

$\frac{π^{2}}{9} + \frac{1}{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{π^{2}}{9} + \frac{1}{2}$

小数形式：

$1.59662271 \dots$

微积分学 示例

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