微积分学示例

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x \cos (π x)}{e^{x} - \sqrt{e}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $\frac{1}{2}$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cos (π x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $\frac{1}{2}$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} \cos (π x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}$

解题步骤 3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (lim_{x \to \frac{1}{2}} π x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}$

解题步骤 4

因为项 $π$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - \sqrt{e}}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $\frac{1}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{x} - lim_{x \to \frac{1}{2}} \sqrt{e}}$

解题步骤 6

将极限移入指数中。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - lim_{x \to \frac{1}{2}} \sqrt{e}}$

解题步骤 7

计算 $\sqrt{e}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{1}{2}$ 时此极限值为常数。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - \sqrt{e}}$

解题步骤 8

将 $\frac{1}{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{1}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos (π lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - \sqrt{e}}$

解题步骤 8.2

将 $\frac{1}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos (π \frac{1}{2})}{e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} x} - \sqrt{e}}$

解题步骤 8.3

将 $\frac{1}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \cos (π \frac{1}{2})}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cos (π \frac{1}{2})$ 。

$\frac{\frac{\cos (π \frac{1}{2})}{2}}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

解题步骤 9.2

化简分子。

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解题步骤 9.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\frac{\cos (\frac{π}{2})}{2}}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

解题步骤 9.2.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{\frac{0}{2}}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

解题步骤 9.3

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\frac{0}{e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}}$

解题步骤 9.4

用 $0$ 除以 $e^{\frac{1}{2}} - \sqrt{e}$ 。

$0$

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