微积分学示例

$\int x (x^{3} + \frac{2}{x^{3}}) d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$\int x \cdot x^{3} + x \frac{2}{x^{3}} d x$

解题步骤 1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x^{1} x^{3} + x \frac{2}{x^{3}} d x$

解题步骤 1.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{1 + 3} + x \frac{2}{x^{3}} d x$

解题步骤 1.2.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\int x^{4} + x \frac{2}{x^{3}} d x$

解题步骤 1.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int x^{4} + x \frac{2}{x \cdot x^{2}} d x$

解题步骤 1.3.2

约去公因数。

$\int x^{4} + x \frac{2}{x \cdot x^{2}} d x$

解题步骤 1.3.3

重写表达式。

$\int x^{4} + \frac{2}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{4} d x + \int \frac{2}{x^{2}} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int \frac{2}{x^{2}} d x$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 5.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 5.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 \int x^{- 2} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + 2 (- x^{- 1} + C)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简。

$\frac{1}{5} x^{5} + 2 (- x^{- 1}) + C$

解题步骤 7.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} - 2 x^{- 1} + C$

微积分学 示例

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