微积分学示例

$\int_{0}^{2} \frac{x}{1 - x} d x$

解题步骤 1

将 $1$ 和 $- x$ 重新排序。

$\int_{0}^{2} \frac{x}{- x + 1} d x$

解题步骤 2

用 $x$ 除以 $- x + 1$ 。

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解题步骤 2.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x$

$0$

解题步骤 2.2

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $- x$ 。

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

解题步骤 2.3

将新的商式项乘以除数。

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

解题步骤 2.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x - 1$ 中的所有符号

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

解题步骤 2.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

解题步骤 2.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int_{0}^{2} - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{2} - 1 d x + \int_{0}^{2} \frac{1}{- x + 1} d x$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$- x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} \frac{1}{- x + 1} d x$

解题步骤 5

使 $u = - x + 1$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = - x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 5.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u = - x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - 0 + 1$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 5.3.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u = - x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = - 1 \cdot 2 + 1$

解题步骤 5.5

化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$u_{upper} = - 2 + 1$

解题步骤 5.5.2

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = - 1$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 1$

解题步骤 5.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$- x]_{0}^{2} + \int_{1}^{- 1} \frac{- 1}{u} d u$

解题步骤 6

将负号移到分数的前面。

$- x]_{0}^{2} + \int_{1}^{- 1} - \frac{1}{u} d u$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- x]_{0}^{2} - \int_{1}^{- 1} \frac{1}{u} d u$

解题步骤 8

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- x]_{0}^{2} - (\ln (| u |)]_{1}^{- 1})$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $- x$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$(- 1 \cdot 2) + 0 - (\ln (| u |)]_{1}^{- 1})$

解题步骤 9.2

计算 $\ln (| u |)$ 在 $- 1$ 处和在 $1$ 处的值。

$(- 1 \cdot 2) + 0 - ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 + 0 - ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.3.2

将 $- 2$ 和 $0$ 相加。

$- 2 - (\ln (| - 1 |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 10

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$- 2 - \ln (\frac{| - 1 |}{| 1 |})$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 1$ 和 $0$ 之间的距离为 $1$ 。

$- 2 - \ln (\frac{1}{| 1 |})$

解题步骤 11.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$- 2 - \ln (\frac{1}{1})$

解题步骤 11.3

用 $1$ 除以 $1$ 。

$- 2 - \ln (1)$

解题步骤 11.4

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$- 2 - 0$

解题步骤 11.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- 2 + 0$

解题步骤 11.6

将 $- 2$ 和 $0$ 相加。

$- 2$

解题步骤 12

微积分学 示例

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