微积分学示例

$2 x (1 + 3 x^{3})$

解题步骤 1

将 $2 x (1 + 3 x^{3})$ 书写为一个函数。

$f (x) = 2 x (1 + 3 x^{3})$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 2 x (1 + 3 x^{3}) d x$

解题步骤 4

乘以 $2 x (1 + 3 x^{3})$ 。

$\int 2 x \cdot 1 + 2 x (3 x^{3}) d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\int 2 x + 2 x (3 x^{3}) d x$

解题步骤 5.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\int 2 x + 6 x \cdot x^{3} d x$

解题步骤 5.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 5.3.1

移动 $x^{3}$ 。

$\int 2 x + 6 (x^{3} x) d x$

解题步骤 5.3.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 2 x + 6 (x^{3} x^{1}) d x$

解题步骤 5.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 2 x + 6 x^{3 + 1} d x$

$\int 2 x + 6 x^{3 + 1} d x$

解题步骤 5.3.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\int 2 x + 6 x^{4} d x$

$\int 2 x + 6 x^{4} d x$

$\int 2 x + 6 x^{4} d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 x d x + \int 6 x^{4} d x$

解题步骤 7

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int x d x + \int 6 x^{4} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 6 x^{4} d x$

解题步骤 9

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 \int x^{4} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简。

$2 (\frac{1}{2}) x^{2} + 6 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{2} x^{2} + 6 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

解题步骤 11.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} x^{2} + 6 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

解题步骤 11.2.2.2

重写表达式。

$1 x^{2} + 6 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

$1 x^{2} + 6 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

解题步骤 11.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + 6 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

解题步骤 11.2.4

组合 $6$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$x^{2} + \frac{6}{5} x^{5} + C$

$x^{2} + \frac{6}{5} x^{5} + C$

$x^{2} + \frac{6}{5} x^{5} + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = 2 x (1 + 3 x^{3})$ 的不定积分。

$F (x) =$ $x^{2} + \frac{6}{5} x^{5} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$