微积分学示例

$f (x) = x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} + 5$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $4 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 8 \frac{d}{d x} x$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 8 \cdot 1$

解题步骤 2.4.3

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 8$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x + 0$

解题步骤 4.1.3.2

将 $4 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x$ 。

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x = 0$

解题步骤 5.2

从 $4 x^{3} + 3 x^{2} - 8 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (4 x^{2}) + 3 x^{2} - 8 x = 0$

解题步骤 5.2.2

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (4 x^{2}) + x (3 x) - 8 x = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (4 x^{2}) + x (3 x) + x \cdot - 8 = 0$

解题步骤 5.2.4

从 $x (4 x^{2}) + x (3 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (4 x^{2} + 3 x) + x \cdot - 8 = 0$

解题步骤 5.2.5

从 $x (4 x^{2} + 3 x) + x \cdot - 8$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (4 x^{2} + 3 x - 8) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$4 x^{2} + 3 x - 8 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将 $4 x^{2} + 3 x - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $4 x^{2} + 3 x - 8$ 设为等于 $0$ 。

$4 x^{2} + 3 x - 8 = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $4 x^{2} + 3 x - 8 = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.5.2.2

将 $a = 4$ 、 $b = 3$ 和 $c = - 8$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 8)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.3

化简。

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解题步骤 5.5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.3.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot - 8$ 。

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解题步骤 5.5.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot - 8}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.3.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $- 8$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 128}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.3.1.3

将 $9$ 和 $128$ 相加。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{137}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{137}}{8}$

解题步骤 5.5.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 5.5.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.4.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot - 8$ 。

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解题步骤 5.5.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot - 8}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.4.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $- 8$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 128}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.4.1.3

将 $9$ 和 $128$ 相加。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{137}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{137}}{8}$

解题步骤 5.5.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 3 + \sqrt{137}}{8}$

解题步骤 5.5.2.4.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{137}}{8}$

解题步骤 5.5.2.4.5

从 $\sqrt{137}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{137})}{8}$

解题步骤 5.5.2.4.6

从 $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{137})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (3 - \sqrt{137})}{8}$

解题步骤 5.5.2.4.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3 - \sqrt{137}}{8}$

解题步骤 5.5.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 5.5.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.2.5.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot - 8}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot - 8$ 。

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解题步骤 5.5.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot - 8}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.5.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $- 8$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 128}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.5.1.3

将 $9$ 和 $128$ 相加。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{137}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 5.5.2.5.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{137}}{8}$

解题步骤 5.5.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 3 - \sqrt{137}}{8}$

解题步骤 5.5.2.5.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{137}}{8}$

解题步骤 5.5.2.5.5

从 $- \sqrt{137}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{137})}{8}$

解题步骤 5.5.2.5.6

从 $- 1 (3) - (\sqrt{137})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (3 + \sqrt{137})}{8}$

解题步骤 5.5.2.5.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3 + \sqrt{137}}{8}$

解题步骤 5.5.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{3 - \sqrt{137}}{8}, - \frac{3 + \sqrt{137}}{8}$

解题步骤 5.6

最终解为使 $x (4 x^{2} + 3 x - 8) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - \frac{3 - \sqrt{137}}{8}, - \frac{3 + \sqrt{137}}{8}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, - \frac{3 - \sqrt{137}}{8}, - \frac{3 + \sqrt{137}}{8}$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(0)}^{2} + 6 (0) - 8$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$12 \cdot 0 + 6 (0) - 8$

解题步骤 9.1.2

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$0 + 6 (0) - 8$

解题步骤 9.1.3

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 - 8$

解题步骤 9.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 - 8$

解题步骤 9.2.2

从 $0$ 中减去 $8$ 。

$- 8$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{4} + {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2} + 5$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2} + 5$

解题步骤 11.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - 4 {(0)}^{2} + 5$

解题步骤 11.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - 4 \cdot 0 + 5$

解题步骤 11.2.1.4

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 5$

解题步骤 11.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 0 + 5$

解题步骤 11.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 5$

解题步骤 11.2.2.3

将 $0$ 和 $5$ 相加。

$f (0) = 5$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $5$ 。

$y = 5$

解题步骤 12

计算在 $x = - \frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 13.1.1.1

对 $- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ 运用乘积法则。

$12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2}) + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.1.2

对 $\frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ 运用乘积法则。

$12 ({(- 1)}^{2} \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{8^{2}}) + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 (1 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{8^{2}}) + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.3

将 $\frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{8^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$12 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{8^{2}} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.4

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{64} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.5.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (3) \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{64} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.5.2

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \cdot 3 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 16} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.5.3

约去公因数。

$4 \cdot 3 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 16} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.5.4

重写表达式。

$3 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{16} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.6

组合 $3$ 和 $\frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{16}$ 。

$\frac{3 {(3 - \sqrt{137})}^{2}}{16} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.7

将 ${(3 - \sqrt{137})}^{2}$ 重写为 $(3 - \sqrt{137}) (3 - \sqrt{137})$ 。

$\frac{3 ((3 - \sqrt{137}) (3 - \sqrt{137}))}{16} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.8

使用 FOIL 方法展开 $(3 - \sqrt{137}) (3 - \sqrt{137})$ 。

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解题步骤 13.1.8.1

运用分配律。

$\frac{3 (3 (3 - \sqrt{137}) - \sqrt{137} (3 - \sqrt{137}))}{16} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.8.2

运用分配律。

$\frac{3 (3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{137}) - \sqrt{137} (3 - \sqrt{137}))}{16} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.8.3

运用分配律。

$\frac{3 (3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{137}) - \sqrt{137} \cdot 3 - \sqrt{137} (- \sqrt{137}))}{16} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 13.1.9.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.9.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 (9 + 3 (- \sqrt{137}) - \sqrt{137} \cdot 3 - \sqrt{137} (- \sqrt{137}))}{16} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.9.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{137} - \sqrt{137} \cdot 3 - \sqrt{137} (- \sqrt{137}))}{16} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.9.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} - \sqrt{137} (- \sqrt{137}))}{16} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.9.1.4

乘以 $- \sqrt{137} (- \sqrt{137})$ 。

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解题步骤 13.1.9.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 1 \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.9.1.4.2

将 $\sqrt{137}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.9.1.4.3

对 $\sqrt{137}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{1} \sqrt{137})}{16} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.9.1.4.4

对 $\sqrt{137}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{1} {\sqrt{137}}^{1})}{16} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.9.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{1 + 1})}{16} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.9.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{2})}{16} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.9.1.5

将 ${\sqrt{137}}^{2}$ 重写为 $137$ 。

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解题步骤 13.1.9.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{137}$ 重写成 $137^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + {(137^{\frac{1}{2}})}^{2})}{16} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.9.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{16} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.9.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137^{\frac{2}{2}})}{16} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.9.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.9.1.5.4.1

约去公因数。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137^{\frac{2}{2}})}{16} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.9.1.5.4.2

重写表达式。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137^{1})}{16} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.9.1.5.5

计算指数。

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137)}{16} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.9.2

将 $9$ 和 $137$ 相加。

$\frac{3 (146 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137})}{16} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.9.3

从 $- 3 \sqrt{137}$ 中减去 $3 \sqrt{137}$ 。

$\frac{3 (146 - 6 \sqrt{137})}{16} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.10

约去 $146 - 6 \sqrt{137}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.10.1

从 $3 (146 - 6 \sqrt{137})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 (73 - 3 \sqrt{137}))}{16} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.10.2

约去公因数。

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解题步骤 13.1.10.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 (73 - 3 \sqrt{137}))}{2 (8)} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.10.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (3 (73 - 3 \sqrt{137}))}{2 \cdot 8} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.10.2.3

重写表达式。

$\frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} + 6 (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 13.1.11

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.11.1

将 $- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} + 6 \frac{- (3 - \sqrt{137})}{8} - 8$

解题步骤 13.1.11.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} + 2 (3) \frac{- (3 - \sqrt{137})}{8} - 8$

解题步骤 13.1.11.3

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} + 2 \cdot 3 \frac{- (3 - \sqrt{137})}{2 \cdot 4} - 8$

解题步骤 13.1.11.4

约去公因数。

$\frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} + 2 \cdot 3 \frac{- (3 - \sqrt{137})}{2 \cdot 4} - 8$

解题步骤 13.1.11.5

重写表达式。

$\frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} + 3 \frac{- (3 - \sqrt{137})}{4} - 8$

解题步骤 13.1.12

组合 $3$ 和 $\frac{- (3 - \sqrt{137})}{4}$ 。

$\frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} + \frac{3 (- (3 - \sqrt{137}))}{4} - 8$

解题步骤 13.1.13

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} + \frac{- 3 (3 - \sqrt{137})}{4} - 8$

解题步骤 13.1.14

将负号移到分数的前面。

$\frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{3 (3 - \sqrt{137})}{4} - 8$

解题步骤 13.2

求公分母。

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解题步骤 13.2.1

将 $\frac{3 (3 - \sqrt{137})}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - (\frac{3 (3 - \sqrt{137})}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 8$

解题步骤 13.2.2

将 $\frac{3 (3 - \sqrt{137})}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{3 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2}{4 \cdot 2} - 8$

解题步骤 13.2.3

将 $- 8$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{3 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 8}{1}$

解题步骤 13.2.4

将 $\frac{- 8}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{3 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{8}{8}$

解题步骤 13.2.5

将 $\frac{- 8}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{3 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 8 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.2.6

重新排序 $4 \cdot 2$ 的因式。

$\frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{3 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 8 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.2.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{3 (73 - 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{3 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2}{8} + \frac{- 8 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.3

在公分母上合并分子。

$\frac{3 (73 - 3 \sqrt{137}) - 3 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2 - 8 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4

化简每一项。

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解题步骤 13.4.1

运用分配律。

$\frac{3 \cdot 73 + 3 (- 3 \sqrt{137}) - 3 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2 - 8 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.2

将 $3$ 乘以 $73$ 。

$\frac{219 + 3 (- 3 \sqrt{137}) - 3 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2 - 8 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.3

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{219 - 9 \sqrt{137} - 3 (3 - \sqrt{137}) \cdot 2 - 8 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.4

运用分配律。

$\frac{219 - 9 \sqrt{137} + (- 3 \cdot 3 - 3 (- \sqrt{137})) \cdot 2 - 8 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.5

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{219 - 9 \sqrt{137} + (- 9 - 3 (- \sqrt{137})) \cdot 2 - 8 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.6

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{219 - 9 \sqrt{137} + (- 9 + 3 \sqrt{137}) \cdot 2 - 8 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.7

运用分配律。

$\frac{219 - 9 \sqrt{137} - 9 \cdot 2 + 3 \sqrt{137} \cdot 2 - 8 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.8

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{219 - 9 \sqrt{137} - 18 + 3 \sqrt{137} \cdot 2 - 8 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.9

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{219 - 9 \sqrt{137} - 18 + 6 \sqrt{137} - 8 \cdot 8}{8}$

解题步骤 13.4.10

将 $- 8$ 乘以 $8$ 。

$\frac{219 - 9 \sqrt{137} - 18 + 6 \sqrt{137} - 64}{8}$

解题步骤 13.5

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 13.5.1

从 $219$ 中减去 $18$ 。

$\frac{201 - 9 \sqrt{137} + 6 \sqrt{137} - 64}{8}$

解题步骤 13.5.2

从 $201$ 中减去 $64$ 。

$\frac{137 - 9 \sqrt{137} + 6 \sqrt{137}}{8}$

解题步骤 13.5.3

将 $- 9 \sqrt{137}$ 和 $6 \sqrt{137}$ 相加。

$\frac{137 - 3 \sqrt{137}}{8}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - \frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = - \frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{4} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 15.2.1.1.1

对 $- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{4} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.1.2

对 $\frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{(3 - \sqrt{137})}^{4}}{8^{4}}) + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = 1 (\frac{{(3 - \sqrt{137})}^{4}}{8^{4}}) + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.3

将 $\frac{{(3 - \sqrt{137})}^{4}}{8^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{4}}{8^{4}} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.4

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.5

使用二项式定理。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3^{4} + 4 \cdot (3^{3} (- \sqrt{137})) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{137})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.6.1

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 4 \cdot (3^{3} (- \sqrt{137})) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{137})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 4 \cdot (27 (- \sqrt{137})) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{137})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.3

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 108 (- \sqrt{137}) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{137})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.4

将 $- 1$ 乘以 $108$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{137})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.5

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 6 \cdot (9 {(- \sqrt{137})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.6

将 $6$ 乘以 $9$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 54 {(- \sqrt{137})}^{2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.7

对 $- \sqrt{137}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 54 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{137}}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 54 (1 {\sqrt{137}}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.9

将 ${\sqrt{137}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 54 {\sqrt{137}}^{2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.10

将 ${\sqrt{137}}^{2}$ 重写为 $137$ 。

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解题步骤 15.2.1.6.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{137}$ 重写成 $137^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 54 {(137^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 54 \cdot 137^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 54 \cdot 137^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.6.10.4.1

约去公因数。

解题步骤 15.2.1.6.10.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 54 \cdot 137 + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.10.5

计算指数。

解题步骤 15.2.1.6.11

将 $54$ 乘以 $137$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.12

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 {(- \sqrt{137})}^{3} + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.13

对 $- \sqrt{137}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{137}}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.14

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 (- {\sqrt{137}}^{3}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.15

将 ${\sqrt{137}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{137^{3}}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 (- \sqrt{137^{3}}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.16

对 $137$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 (- \sqrt{2571353}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.17

将 $2571353$ 重写为 $137^{2} \cdot 137$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1.6.17.1

从 $2571353$ 中分解出因数 $18769$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 (- \sqrt{18769 (137)}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.17.2

将 $18769$ 重写为 $137^{2}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 (- \sqrt{137^{2} \cdot 137}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.18

从根式下提出各项。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 (- (137 \sqrt{137})) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.19

将 $137$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 (- 137 \sqrt{137}) + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.20

将 $- 137$ 乘以 $12$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + {(- \sqrt{137})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.21

对 $- \sqrt{137}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{137}}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.22

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + 1 {\sqrt{137}}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.23

将 ${\sqrt{137}}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.24

将 ${\sqrt{137}}^{4}$ 重写为 $137^{2}$ 。

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解题步骤 15.2.1.6.24.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{137}$ 重写成 $137^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + {(137^{\frac{1}{2}})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.24.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.24.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{4}{2}}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.24.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.6.24.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.24.4.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.6.24.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.24.4.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.24.4.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{2}{1}}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.24.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + 137^{2}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.6.25

对 $137$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 - 108 \sqrt{137} + 7398 - 1644 \sqrt{137} + 18769}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.7

将 $81$ 和 $7398$ 相加。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{7479 - 108 \sqrt{137} - 1644 \sqrt{137} + 18769}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.8

将 $7479$ 和 $18769$ 相加。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{26248 - 108 \sqrt{137} - 1644 \sqrt{137}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.9

从 $- 108 \sqrt{137}$ 中减去 $1644 \sqrt{137}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{26248 - 1752 \sqrt{137}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.10

约去 $26248 - 1752 \sqrt{137}$ 和 $4096$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.10.1

从 $26248$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{8 (3281) - 1752 \sqrt{137}}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.10.2

从 $- 1752 \sqrt{137}$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{8 (3281) + 8 (- 219 \sqrt{137})}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.10.3

从 $8 (3281) + 8 (- 219 \sqrt{137})$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{8 (3281 - 219 \sqrt{137})}{4096} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.10.4

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.10.4.1

从 $4096$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{8 (3281 - 219 \sqrt{137})}{8 \cdot 512} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.10.4.2

约去公因数。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{8 (3281 - 219 \sqrt{137})}{8 \cdot 512} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.10.4.3

重写表达式。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} + {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.11

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 15.2.1.11.1

对 $- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} + {(- 1)}^{3} {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.11.2

对 $\frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} + {(- 1)}^{3} (\frac{{(3 - \sqrt{137})}^{3}}{8^{3}}) - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{3}}{8^{3}} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.13

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.14

使用二项式定理。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{3^{3} + 3 \cdot (3^{2} (- \sqrt{137})) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{2}) + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.15

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.15.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 + 3 \cdot (3^{2} (- \sqrt{137})) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{2}) + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.15.2

通过指数相加将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 15.2.1.15.2.1

将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 15.2.1.15.2.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 15.2.1.15.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 + 3^{1 + 2} (- \sqrt{137}) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{2}) + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.15.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 + 3^{3} (- \sqrt{137}) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{2}) + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.15.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 + 27 (- \sqrt{137}) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{2}) + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.15.4

将 $- 1$ 乘以 $27$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{137})}^{2}) + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.15.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 {(- \sqrt{137})}^{2} + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.15.6

对 $- \sqrt{137}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{137}}^{2}) + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.15.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 (1 {\sqrt{137}}^{2}) + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.15.8

将 ${\sqrt{137}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 {\sqrt{137}}^{2} + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.15.9

将 ${\sqrt{137}}^{2}$ 重写为 $137$ 。

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解题步骤 15.2.1.15.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{137}$ 重写成 $137^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 {(137^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.15.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.15.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.15.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.15.9.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.15.9.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137 + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.15.9.5

计算指数。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137 + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.15.10

将 $9$ 乘以 $137$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 1233 + {(- \sqrt{137})}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.15.11

对 $- \sqrt{137}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 1233 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.15.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 1233 - {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.15.13

将 ${\sqrt{137}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{137^{3}}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 1233 - \sqrt{137^{3}}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.15.14

对 $137$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 1233 - \sqrt{2571353}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.15.15

将 $2571353$ 重写为 $137^{2} \cdot 137$ 。

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解题步骤 15.2.1.15.15.1

从 $2571353$ 中分解出因数 $18769$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 1233 - \sqrt{18769 (137)}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.15.15.2

将 $18769$ 重写为 $137^{2}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 1233 - \sqrt{137^{2} \cdot 137}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.15.16

从根式下提出各项。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 1233 - (137 \sqrt{137})}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.15.17

将 $137$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 - 27 \sqrt{137} + 1233 - 137 \sqrt{137}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.16

将 $27$ 和 $1233$ 相加。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{1260 - 27 \sqrt{137} - 137 \sqrt{137}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.17

从 $- 27 \sqrt{137}$ 中减去 $137 \sqrt{137}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{1260 - 164 \sqrt{137}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.18

约去 $1260 - 164 \sqrt{137}$ 和 $512$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.18.1

从 $1260$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{4 (315) - 164 \sqrt{137}}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.18.2

从 $- 164 \sqrt{137}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{4 (315) + 4 (- 41 \sqrt{137})}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.18.3

从 $4 (315) + 4 (- 41 \sqrt{137})$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{4 (315 - 41 \sqrt{137})}{512} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.18.4

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.18.4.1

从 $512$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{4 (315 - 41 \sqrt{137})}{4 \cdot 128} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.18.4.2

约去公因数。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{4 (315 - 41 \sqrt{137})}{4 \cdot 128} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.18.4.3

重写表达式。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 4 {(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 15.2.1.19

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 15.2.1.19.1

对 $- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 - \sqrt{137}}{8})}^{2}) + 5$

解题步骤 15.2.1.19.2

对 $\frac{3 - \sqrt{137}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{8^{2}})) + 5$

解题步骤 15.2.1.20

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 4 (1 (\frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{8^{2}})) + 5$

解题步骤 15.2.1.21

将 $\frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{8^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 4 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{8^{2}} + 5$

解题步骤 15.2.1.22

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 4 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{64} + 5$

解题步骤 15.2.1.23

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.23.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} + 4 (- 1) (\frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{64}) + 5$

解题步骤 15.2.1.23.2

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} + 4 \cdot (- 1 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 16}) + 5$

解题步骤 15.2.1.23.3

约去公因数。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} + 4 \cdot (- 1 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 16}) + 5$

解题步骤 15.2.1.23.4

重写表达式。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{{(3 - \sqrt{137})}^{2}}{16} + 5$

解题步骤 15.2.1.24

将 ${(3 - \sqrt{137})}^{2}$ 重写为 $(3 - \sqrt{137}) (3 - \sqrt{137})$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{(3 - \sqrt{137}) (3 - \sqrt{137})}{16} + 5$

解题步骤 15.2.1.25

使用 FOIL 方法展开 $(3 - \sqrt{137}) (3 - \sqrt{137})$ 。

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解题步骤 15.2.1.25.1

运用分配律。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{3 (3 - \sqrt{137}) - \sqrt{137} (3 - \sqrt{137})}{16} + 5$

解题步骤 15.2.1.25.2

运用分配律。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{137}) - \sqrt{137} (3 - \sqrt{137})}{16} + 5$

解题步骤 15.2.1.25.3

运用分配律。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{137}) - \sqrt{137} \cdot 3 - \sqrt{137} (- \sqrt{137})}{16} + 5$

解题步骤 15.2.1.26

化简并合并同类项。

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解题步骤 15.2.1.26.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.26.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{9 + 3 (- \sqrt{137}) - \sqrt{137} \cdot 3 - \sqrt{137} (- \sqrt{137})}{16} + 5$

解题步骤 15.2.1.26.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{9 - 3 \sqrt{137} - \sqrt{137} \cdot 3 - \sqrt{137} (- \sqrt{137})}{16} + 5$

解题步骤 15.2.1.26.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} - \sqrt{137} (- \sqrt{137})}{16} + 5$

解题步骤 15.2.1.26.1.4

乘以 $- \sqrt{137} (- \sqrt{137})$ 。

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解题步骤 15.2.1.26.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 1 \sqrt{137} \sqrt{137}}{16} + 5$

解题步骤 15.2.1.26.1.4.2

将 $\sqrt{137}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} \sqrt{137}}{16} + 5$

解题步骤 15.2.1.26.1.4.3

对 $\sqrt{137}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} \sqrt{137}}{16} + 5$

解题步骤 15.2.1.26.1.4.4

对 $\sqrt{137}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} \sqrt{137}}{16} + 5$

解题步骤 15.2.1.26.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{1 + 1}}{16} + 5$

解题步骤 15.2.1.26.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{2}}{16} + 5$

解题步骤 15.2.1.26.1.5

将 ${\sqrt{137}}^{2}$ 重写为 $137$ 。

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解题步骤 15.2.1.26.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{137}$ 重写成 $137^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + {(137^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16} + 5$

解题步骤 15.2.1.26.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16} + 5$

解题步骤 15.2.1.26.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137^{\frac{2}{2}}}{16} + 5$

解题步骤 15.2.1.26.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.26.1.5.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137^{\frac{2}{2}}}{16} + 5$

解题步骤 15.2.1.26.1.5.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137}{16} + 5$

解题步骤 15.2.1.26.1.5.5

计算指数。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{9 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137} + 137}{16} + 5$

解题步骤 15.2.1.26.2

将 $9$ 和 $137$ 相加。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{146 - 3 \sqrt{137} - 3 \sqrt{137}}{16} + 5$

解题步骤 15.2.1.26.3

从 $- 3 \sqrt{137}$ 中减去 $3 \sqrt{137}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{146 - 6 \sqrt{137}}{16} + 5$

解题步骤 15.2.1.27

约去 $146 - 6 \sqrt{137}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.27.1

从 $146$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{2 (73) - 6 \sqrt{137}}{16} + 5$

解题步骤 15.2.1.27.2

从 $- 6 \sqrt{137}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{2 (73) + 2 (- 3 \sqrt{137})}{16} + 5$

解题步骤 15.2.1.27.3

从 $2 (73) + 2 (- 3 \sqrt{137})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{2 (73 - 3 \sqrt{137})}{16} + 5$

解题步骤 15.2.1.27.4

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.27.4.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{2 (73 - 3 \sqrt{137})}{2 \cdot 8} + 5$

解题步骤 15.2.1.27.4.2

约去公因数。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{2 (73 - 3 \sqrt{137})}{2 \cdot 8} + 5$

解题步骤 15.2.1.27.4.3

重写表达式。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{73 - 3 \sqrt{137}}{8} + 5$

解题步骤 15.2.1.28

将 $- 1 \frac{73 - 3 \sqrt{137}}{8}$ 重写为 $- \frac{73 - 3 \sqrt{137}}{8}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} - \frac{73 - 3 \sqrt{137}}{8} + 5$

解题步骤 15.2.2

求公分母。

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解题步骤 15.2.2.1

将 $\frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - (\frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128} \cdot \frac{4}{4}) - \frac{73 - 3 \sqrt{137}}{8} + 5$

解题步骤 15.2.2.2

将 $\frac{315 - 41 \sqrt{137}}{128}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{(315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{73 - 3 \sqrt{137}}{8} + 5$

解题步骤 15.2.2.3

将 $\frac{73 - 3 \sqrt{137}}{8}$ 乘以 $\frac{64}{64}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{(315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - (\frac{73 - 3 \sqrt{137}}{8} \cdot \frac{64}{64}) + 5$

解题步骤 15.2.2.4

将 $\frac{73 - 3 \sqrt{137}}{8}$ 乘以 $\frac{64}{64}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{(315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{(73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + 5$

解题步骤 15.2.2.5

将 $5$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{(315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{(73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{5}{1}$

解题步骤 15.2.2.6

将 $\frac{5}{1}$ 乘以 $\frac{512}{512}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{(315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{(73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{5}{1} \cdot \frac{512}{512}$

解题步骤 15.2.2.7

将 $\frac{5}{1}$ 乘以 $\frac{512}{512}$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{(315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{(73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 15.2.2.8

重新排序 $128 \cdot 4$ 的因式。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{(315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{4 \cdot 128} - \frac{(73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 15.2.2.9

将 $4$ 乘以 $128$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{(315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{512} - \frac{(73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 15.2.2.10

将 $8$ 乘以 $64$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{(315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{512} - \frac{(73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{512} + \frac{5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 15.2.3

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137} - (315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4 - (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 15.2.4

化简每一项。

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解题步骤 15.2.4.1

运用分配律。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137} + (- 1 \cdot 315 - (- 41 \sqrt{137})) \cdot 4 - (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 15.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $315$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137} + (- 315 - (- 41 \sqrt{137})) \cdot 4 - (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 15.2.4.3

将 $- 41$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137} + (- 315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4 - (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 15.2.4.4

运用分配律。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137} - 315 \cdot 4 + 41 \sqrt{137} \cdot 4 - (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 15.2.4.5

将 $- 315$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137} - 1260 + 41 \sqrt{137} \cdot 4 - (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 15.2.4.6

将 $4$ 乘以 $41$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137} - 1260 + 164 \sqrt{137} - (73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 15.2.4.7

运用分配律。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137} - 1260 + 164 \sqrt{137} + (- 1 \cdot 73 - (- 3 \sqrt{137})) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 15.2.4.8

将 $- 1$ 乘以 $73$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137} - 1260 + 164 \sqrt{137} + (- 73 - (- 3 \sqrt{137})) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 15.2.4.9

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137} - 1260 + 164 \sqrt{137} + (- 73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 15.2.4.10

运用分配律。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137} - 1260 + 164 \sqrt{137} - 73 \cdot 64 + 3 \sqrt{137} \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 15.2.4.11

将 $- 73$ 乘以 $64$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137} - 1260 + 164 \sqrt{137} - 4672 + 3 \sqrt{137} \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 15.2.4.12

将 $64$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137} - 1260 + 164 \sqrt{137} - 4672 + 192 \sqrt{137} + 5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 15.2.4.13

将 $5$ 乘以 $512$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 - 219 \sqrt{137} - 1260 + 164 \sqrt{137} - 4672 + 192 \sqrt{137} + 2560}{512}$

解题步骤 15.2.5

化简项。

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解题步骤 15.2.5.1

从 $3281$ 中减去 $1260$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{2021 - 219 \sqrt{137} + 164 \sqrt{137} - 4672 + 192 \sqrt{137} + 2560}{512}$

解题步骤 15.2.5.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 15.2.5.2.1

从 $2021$ 中减去 $4672$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 2651 - 219 \sqrt{137} + 164 \sqrt{137} + 192 \sqrt{137} + 2560}{512}$

解题步骤 15.2.5.2.2

将 $- 2651$ 和 $2560$ 相加。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 91 - 219 \sqrt{137} + 164 \sqrt{137} + 192 \sqrt{137}}{512}$

解题步骤 15.2.5.3

将 $- 219 \sqrt{137}$ 和 $164 \sqrt{137}$ 相加。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 91 - 55 \sqrt{137} + 192 \sqrt{137}}{512}$

解题步骤 15.2.5.4

将 $- 55 \sqrt{137}$ 和 $192 \sqrt{137}$ 相加。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 91 + 137 \sqrt{137}}{512}$

解题步骤 15.2.5.5

将 $- 91$ 重写为 $- 1 (91)$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 91 + 137 \sqrt{137}}{512}$

解题步骤 15.2.5.6

从 $137 \sqrt{137}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 91 - (- 137 \sqrt{137})}{512}$

解题步骤 15.2.5.7

从 $- 1 (91) - (- 137 \sqrt{137})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 1 (91 - 137 \sqrt{137})}{512}$

解题步骤 15.2.5.8

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}) = - \frac{91 - 137 \sqrt{137}}{512}$

解题步骤 15.2.6

最终答案为 $- \frac{91 - 137 \sqrt{137}}{512}$ 。

$y = - \frac{91 - 137 \sqrt{137}}{512}$

解题步骤 16

计算在 $x = - \frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 6 (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 17.1.1.1

对 $- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ 运用乘积法则。

$12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2}) + 6 (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 17.1.1.2

对 $\frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ 运用乘积法则。

$12 ({(- 1)}^{2} \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{8^{2}}) + 6 (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 17.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 (1 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{8^{2}}) + 6 (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 17.1.3

将 $\frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{8^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$12 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{8^{2}} + 6 (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 17.1.4

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{64} + 6 (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 17.1.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.5.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (3) \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{64} + 6 (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 17.1.5.2

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \cdot 3 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 16} + 6 (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 17.1.5.3

约去公因数。

$4 \cdot 3 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 16} + 6 (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 17.1.5.4

重写表达式。

$3 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{16} + 6 (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 17.1.6

组合 $3$ 和 $\frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{16}$ 。

$\frac{3 {(3 + \sqrt{137})}^{2}}{16} + 6 (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 17.1.7

将 ${(3 + \sqrt{137})}^{2}$ 重写为 $(3 + \sqrt{137}) (3 + \sqrt{137})$ 。

$\frac{3 ((3 + \sqrt{137}) (3 + \sqrt{137}))}{16} + 6 (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 17.1.8

使用 FOIL 方法展开 $(3 + \sqrt{137}) (3 + \sqrt{137})$ 。

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解题步骤 17.1.8.1

运用分配律。

$\frac{3 (3 (3 + \sqrt{137}) + \sqrt{137} (3 + \sqrt{137}))}{16} + 6 (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 17.1.8.2

运用分配律。

$\frac{3 (3 \cdot 3 + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} (3 + \sqrt{137}))}{16} + 6 (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 17.1.8.3

运用分配律。

$\frac{3 (3 \cdot 3 + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} \cdot 3 + \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} + 6 (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 17.1.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 17.1.9.1

化简每一项。

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解题步骤 17.1.9.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} \cdot 3 + \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} + 6 (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 17.1.9.1.2

将 $3$ 移到 $\sqrt{137}$ 的左侧。

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{137} + 3 \cdot \sqrt{137} + \sqrt{137} \sqrt{137})}{16} + 6 (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 17.1.9.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137 \cdot 137})}{16} + 6 (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 17.1.9.1.4

将 $137$ 乘以 $137$ 。

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137} + \sqrt{18769})}{16} + 6 (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 17.1.9.1.5

将 $18769$ 重写为 $137^{2}$ 。

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137^{2}})}{16} + 6 (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 17.1.9.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137} + 137)}{16} + 6 (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 17.1.9.2

将 $9$ 和 $137$ 相加。

$\frac{3 (146 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137})}{16} + 6 (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 17.1.9.3

将 $3 \sqrt{137}$ 和 $3 \sqrt{137}$ 相加。

$\frac{3 (146 + 6 \sqrt{137})}{16} + 6 (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 17.1.10

约去 $146 + 6 \sqrt{137}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.10.1

从 $3 (146 + 6 \sqrt{137})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 (73 + 3 \sqrt{137}))}{16} + 6 (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 17.1.10.2

约去公因数。

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解题步骤 17.1.10.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 (73 + 3 \sqrt{137}))}{2 (8)} + 6 (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 17.1.10.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (3 (73 + 3 \sqrt{137}))}{2 \cdot 8} + 6 (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 17.1.10.2.3

重写表达式。

$\frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} + 6 (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) - 8$

解题步骤 17.1.11

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.1.11.1

将 $- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} + 6 \frac{- (3 + \sqrt{137})}{8} - 8$

解题步骤 17.1.11.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} + 2 (3) \frac{- (3 + \sqrt{137})}{8} - 8$

解题步骤 17.1.11.3

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} + 2 \cdot 3 \frac{- (3 + \sqrt{137})}{2 \cdot 4} - 8$

解题步骤 17.1.11.4

约去公因数。

$\frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} + 2 \cdot 3 \frac{- (3 + \sqrt{137})}{2 \cdot 4} - 8$

解题步骤 17.1.11.5

重写表达式。

$\frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} + 3 \frac{- (3 + \sqrt{137})}{4} - 8$

解题步骤 17.1.12

组合 $3$ 和 $\frac{- (3 + \sqrt{137})}{4}$ 。

$\frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} + \frac{3 (- (3 + \sqrt{137}))}{4} - 8$

解题步骤 17.1.13

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} + \frac{- 3 (3 + \sqrt{137})}{4} - 8$

解题步骤 17.1.14

将负号移到分数的前面。

$\frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{3 (3 + \sqrt{137})}{4} - 8$

解题步骤 17.2

求公分母。

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解题步骤 17.2.1

将 $\frac{3 (3 + \sqrt{137})}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - (\frac{3 (3 + \sqrt{137})}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 8$

解题步骤 17.2.2

将 $\frac{3 (3 + \sqrt{137})}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{3 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2}{4 \cdot 2} - 8$

解题步骤 17.2.3

将 $- 8$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{3 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 8}{1}$

解题步骤 17.2.4

将 $\frac{- 8}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{3 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{8}{8}$

解题步骤 17.2.5

将 $\frac{- 8}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{3 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 8 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.2.6

重新排序 $4 \cdot 2$ 的因式。

$\frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{3 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 8 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.2.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{3 (73 + 3 \sqrt{137})}{8} - \frac{3 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2}{8} + \frac{- 8 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.3

在公分母上合并分子。

$\frac{3 (73 + 3 \sqrt{137}) - 3 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2 - 8 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4

化简每一项。

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解题步骤 17.4.1

运用分配律。

$\frac{3 \cdot 73 + 3 (3 \sqrt{137}) - 3 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2 - 8 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.2

将 $3$ 乘以 $73$ 。

$\frac{219 + 3 (3 \sqrt{137}) - 3 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2 - 8 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{219 + 9 \sqrt{137} - 3 (3 + \sqrt{137}) \cdot 2 - 8 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.4

运用分配律。

$\frac{219 + 9 \sqrt{137} + (- 3 \cdot 3 - 3 \sqrt{137}) \cdot 2 - 8 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.5

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{219 + 9 \sqrt{137} + (- 9 - 3 \sqrt{137}) \cdot 2 - 8 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.6

运用分配律。

$\frac{219 + 9 \sqrt{137} - 9 \cdot 2 - 3 \sqrt{137} \cdot 2 - 8 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.7

将 $- 9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{219 + 9 \sqrt{137} - 18 - 3 \sqrt{137} \cdot 2 - 8 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.8

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{219 + 9 \sqrt{137} - 18 - 6 \sqrt{137} - 8 \cdot 8}{8}$

解题步骤 17.4.9

将 $- 8$ 乘以 $8$ 。

$\frac{219 + 9 \sqrt{137} - 18 - 6 \sqrt{137} - 64}{8}$

解题步骤 17.5

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 17.5.1

从 $219$ 中减去 $18$ 。

$\frac{201 + 9 \sqrt{137} - 6 \sqrt{137} - 64}{8}$

解题步骤 17.5.2

从 $201$ 中减去 $64$ 。

$\frac{137 + 9 \sqrt{137} - 6 \sqrt{137}}{8}$

解题步骤 17.5.3

从 $9 \sqrt{137}$ 中减去 $6 \sqrt{137}$ 。

$\frac{137 + 3 \sqrt{137}}{8}$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - \frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ 是一个极小值

解题步骤 19

求 $x = - \frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ 时的 y 值。

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解题步骤 19.1

使用表达式中的 $- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{4} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2

化简结果。

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解题步骤 19.2.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 19.2.1.1.1

对 $- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{4} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.1.2

对 $\frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{(3 + \sqrt{137})}^{4}}{8^{4}}) + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = 1 (\frac{{(3 + \sqrt{137})}^{4}}{8^{4}}) + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.3

将 $\frac{{(3 + \sqrt{137})}^{4}}{8^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{4}}{8^{4}} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.4

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.5

使用二项式定理。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3^{4} + 4 \cdot (3^{3} \sqrt{137}) + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{137}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.6

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.6.1

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 4 \cdot (3^{3} \sqrt{137}) + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{137}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.6.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 4 \cdot (27 \sqrt{137}) + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{137}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.6.3

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 108 \sqrt{137} + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{137}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.6.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 108 \sqrt{137} + 6 \cdot (9 {\sqrt{137}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.6.5

将 $6$ 乘以 $9$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 108 \sqrt{137} + 54 {\sqrt{137}}^{2} + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.6.6

将 ${\sqrt{137}}^{2}$ 重写为 $137$ 。

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解题步骤 19.2.1.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{137}$ 重写成 $137^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 108 \sqrt{137} + 54 {(137^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 108 \sqrt{137} + 54 \cdot 137^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 108 \sqrt{137} + 54 \cdot 137^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.6.6.4.1

约去公因数。

解题步骤 19.2.1.6.6.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 108 \sqrt{137} + 54 \cdot 137 + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.6.6.5

计算指数。

解题步骤 19.2.1.6.7

将 $54$ 乘以 $137$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 4 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{3}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.6.8

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 {\sqrt{137}}^{3} + {\sqrt{137}}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.6.9

将 ${\sqrt{137}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{137^{3}}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 \sqrt{137^{3}} + {\sqrt{137}}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.6.10

对 $137$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 \sqrt{2571353} + {\sqrt{137}}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.6.11

将 $2571353$ 重写为 $137^{2} \cdot 137$ 。

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解题步骤 19.2.1.6.11.1

从 $2571353$ 中分解出因数 $18769$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 \sqrt{18769 (137)} + {\sqrt{137}}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.6.11.2

将 $18769$ 重写为 $137^{2}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 \sqrt{137^{2} \cdot 137} + {\sqrt{137}}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.6.12

从根式下提出各项。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 12 (137 \sqrt{137}) + {\sqrt{137}}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.6.13

将 $137$ 乘以 $12$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + {\sqrt{137}}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.6.14

将 ${\sqrt{137}}^{4}$ 重写为 $137^{2}$ 。

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解题步骤 19.2.1.6.14.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{137}$ 重写成 $137^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + {(137^{\frac{1}{2}})}^{4}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.6.14.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.6.14.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{4}{2}}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.6.14.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.6.14.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.6.14.4.2

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.6.14.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.6.14.4.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.6.14.4.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + 137^{\frac{2}{1}}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.6.14.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + 137^{2}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.6.15

对 $137$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{81 + 108 \sqrt{137} + 7398 + 1644 \sqrt{137} + 18769}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.7

将 $81$ 和 $7398$ 相加。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{7479 + 108 \sqrt{137} + 1644 \sqrt{137} + 18769}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.8

将 $7479$ 和 $18769$ 相加。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{26248 + 108 \sqrt{137} + 1644 \sqrt{137}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.9

将 $108 \sqrt{137}$ 和 $1644 \sqrt{137}$ 相加。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{26248 + 1752 \sqrt{137}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.10

约去 $26248 + 1752 \sqrt{137}$ 和 $4096$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.10.1

从 $26248$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{8 (3281) + 1752 \sqrt{137}}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.10.2

从 $1752 \sqrt{137}$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{8 (3281) + 8 (219 \sqrt{137})}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.10.3

从 $8 (3281) + 8 (219 \sqrt{137})$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{8 (3281 + 219 \sqrt{137})}{4096} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.10.4

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.10.4.1

从 $4096$ 中分解出因数 $8$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{8 (3281 + 219 \sqrt{137})}{8 \cdot 512} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.10.4.2

约去公因数。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{8 (3281 + 219 \sqrt{137})}{8 \cdot 512} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.10.4.3

重写表达式。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} + {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.11

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 19.2.1.11.1

对 $- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} + {(- 1)}^{3} {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{3} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.11.2

对 $\frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} + {(- 1)}^{3} (\frac{{(3 + \sqrt{137})}^{3}}{8^{3}}) - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{3}}{8^{3}} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.13

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.14

使用二项式定理。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{3^{3} + 3 \cdot (3^{2} \sqrt{137}) + 3 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{2}) + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.15

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.15.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 + 3 \cdot (3^{2} \sqrt{137}) + 3 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{2}) + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.15.2

通过指数相加将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 19.2.1.15.2.1

将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 19.2.1.15.2.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 19.2.1.15.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 + 3^{1 + 2} \sqrt{137} + 3 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{2}) + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.15.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 + 3^{3} \sqrt{137} + 3 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{2}) + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.15.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 3 \cdot (3 {\sqrt{137}}^{2}) + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.15.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 9 {\sqrt{137}}^{2} + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.15.5

将 ${\sqrt{137}}^{2}$ 重写为 $137$ 。

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解题步骤 19.2.1.15.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{137}$ 重写成 $137^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 9 {(137^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.15.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.15.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.15.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.15.5.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.15.5.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137 + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.15.5.5

计算指数。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 9 \cdot 137 + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.15.6

将 $9$ 乘以 $137$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 1233 + {\sqrt{137}}^{3}}{512} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.15.7

将 ${\sqrt{137}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{137^{3}}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 1233 + \sqrt{137^{3}}}{512} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.15.8

对 $137$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 1233 + \sqrt{2571353}}{512} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.15.9

将 $2571353$ 重写为 $137^{2} \cdot 137$ 。

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解题步骤 19.2.1.15.9.1

从 $2571353$ 中分解出因数 $18769$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 1233 + \sqrt{18769 (137)}}{512} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.15.9.2

将 $18769$ 重写为 $137^{2}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 1233 + \sqrt{137^{2} \cdot 137}}{512} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.15.10

从根式下提出各项。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{27 + 27 \sqrt{137} + 1233 + 137 \sqrt{137}}{512} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.16

将 $27$ 和 $1233$ 相加。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{1260 + 27 \sqrt{137} + 137 \sqrt{137}}{512} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.17

将 $27 \sqrt{137}$ 和 $137 \sqrt{137}$ 相加。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{1260 + 164 \sqrt{137}}{512} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.18

约去 $1260 + 164 \sqrt{137}$ 和 $512$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.18.1

从 $1260$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{4 (315) + 164 \sqrt{137}}{512} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.18.2

从 $164 \sqrt{137}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{4 (315) + 4 (41 \sqrt{137})}{512} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.18.3

从 $4 (315) + 4 (41 \sqrt{137})$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{4 (315 + 41 \sqrt{137})}{512} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.18.4

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.18.4.1

从 $512$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{4 (315 + 41 \sqrt{137})}{4 \cdot 128} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.18.4.2

约去公因数。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{4 (315 + 41 \sqrt{137})}{4 \cdot 128} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.18.4.3

重写表达式。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - 4 {(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2} + 5$

解题步骤 19.2.1.19

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 19.2.1.19.1

对 $- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 + \sqrt{137}}{8})}^{2}) + 5$

解题步骤 19.2.1.19.2

对 $\frac{3 + \sqrt{137}}{8}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{8^{2}})) + 5$

解题步骤 19.2.1.20

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - 4 (1 (\frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{8^{2}})) + 5$

解题步骤 19.2.1.21

将 $\frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{8^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - 4 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{8^{2}} + 5$

解题步骤 19.2.1.22

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - 4 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{64} + 5$

解题步骤 19.2.1.23

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.23.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} + 4 (- 1) (\frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{64}) + 5$

解题步骤 19.2.1.23.2

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} + 4 \cdot (- 1 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 16}) + 5$

解题步骤 19.2.1.23.3

约去公因数。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} + 4 \cdot (- 1 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{4 \cdot 16}) + 5$

解题步骤 19.2.1.23.4

重写表达式。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{{(3 + \sqrt{137})}^{2}}{16} + 5$

解题步骤 19.2.1.24

将 ${(3 + \sqrt{137})}^{2}$ 重写为 $(3 + \sqrt{137}) (3 + \sqrt{137})$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{(3 + \sqrt{137}) (3 + \sqrt{137})}{16} + 5$

解题步骤 19.2.1.25

使用 FOIL 方法展开 $(3 + \sqrt{137}) (3 + \sqrt{137})$ 。

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解题步骤 19.2.1.25.1

运用分配律。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{3 (3 + \sqrt{137}) + \sqrt{137} (3 + \sqrt{137})}{16} + 5$

解题步骤 19.2.1.25.2

运用分配律。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} (3 + \sqrt{137})}{16} + 5$

解题步骤 19.2.1.25.3

运用分配律。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} \cdot 3 + \sqrt{137} \sqrt{137}}{16} + 5$

解题步骤 19.2.1.26

化简并合并同类项。

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解题步骤 19.2.1.26.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.26.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{9 + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137} \cdot 3 + \sqrt{137} \sqrt{137}}{16} + 5$

解题步骤 19.2.1.26.1.2

将 $3$ 移到 $\sqrt{137}$ 的左侧。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{9 + 3 \sqrt{137} + 3 \cdot \sqrt{137} + \sqrt{137} \sqrt{137}}{16} + 5$

解题步骤 19.2.1.26.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{9 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137 \cdot 137}}{16} + 5$

解题步骤 19.2.1.26.1.4

将 $137$ 乘以 $137$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{9 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137} + \sqrt{18769}}{16} + 5$

解题步骤 19.2.1.26.1.5

将 $18769$ 重写为 $137^{2}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{9 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137} + \sqrt{137^{2}}}{16} + 5$

解题步骤 19.2.1.26.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{9 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137} + 137}{16} + 5$

解题步骤 19.2.1.26.2

将 $9$ 和 $137$ 相加。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{146 + 3 \sqrt{137} + 3 \sqrt{137}}{16} + 5$

解题步骤 19.2.1.26.3

将 $3 \sqrt{137}$ 和 $3 \sqrt{137}$ 相加。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{146 + 6 \sqrt{137}}{16} + 5$

解题步骤 19.2.1.27

约去 $146 + 6 \sqrt{137}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 19.2.1.27.1

从 $146$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{2 (73) + 6 \sqrt{137}}{16} + 5$

解题步骤 19.2.1.27.2

从 $6 \sqrt{137}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{2 (73) + 2 (3 \sqrt{137})}{16} + 5$

解题步骤 19.2.1.27.3

从 $2 (73) + 2 (3 \sqrt{137})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{2 (73 + 3 \sqrt{137})}{16} + 5$

解题步骤 19.2.1.27.4

约去公因数。

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解题步骤 19.2.1.27.4.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{2 (73 + 3 \sqrt{137})}{2 \cdot 8} + 5$

解题步骤 19.2.1.27.4.2

约去公因数。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{2 (73 + 3 \sqrt{137})}{2 \cdot 8} + 5$

解题步骤 19.2.1.27.4.3

重写表达式。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - 1 \frac{73 + 3 \sqrt{137}}{8} + 5$

解题步骤 19.2.1.28

将 $- 1 \frac{73 + 3 \sqrt{137}}{8}$ 重写为 $- \frac{73 + 3 \sqrt{137}}{8}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} - \frac{73 + 3 \sqrt{137}}{8} + 5$

解题步骤 19.2.2

求公分母。

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解题步骤 19.2.2.1

将 $\frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - (\frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128} \cdot \frac{4}{4}) - \frac{73 + 3 \sqrt{137}}{8} + 5$

解题步骤 19.2.2.2

将 $\frac{315 + 41 \sqrt{137}}{128}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{(315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{73 + 3 \sqrt{137}}{8} + 5$

解题步骤 19.2.2.3

将 $\frac{73 + 3 \sqrt{137}}{8}$ 乘以 $\frac{64}{64}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{(315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - (\frac{73 + 3 \sqrt{137}}{8} \cdot \frac{64}{64}) + 5$

解题步骤 19.2.2.4

将 $\frac{73 + 3 \sqrt{137}}{8}$ 乘以 $\frac{64}{64}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{(315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{(73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + 5$

解题步骤 19.2.2.5

将 $5$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{(315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{(73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{5}{1}$

解题步骤 19.2.2.6

将 $\frac{5}{1}$ 乘以 $\frac{512}{512}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{(315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{(73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{5}{1} \cdot \frac{512}{512}$

解题步骤 19.2.2.7

将 $\frac{5}{1}$ 乘以 $\frac{512}{512}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{(315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{128 \cdot 4} - \frac{(73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 19.2.2.8

重新排序 $128 \cdot 4$ 的因式。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{(315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{4 \cdot 128} - \frac{(73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 19.2.2.9

将 $4$ 乘以 $128$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{(315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{512} - \frac{(73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{8 \cdot 64} + \frac{5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 19.2.2.10

将 $8$ 乘以 $64$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137}}{512} - \frac{(315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4}{512} - \frac{(73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64}{512} + \frac{5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 19.2.3

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137} - (315 + 41 \sqrt{137}) \cdot 4 - (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 19.2.4

化简每一项。

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解题步骤 19.2.4.1

运用分配律。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137} + (- 1 \cdot 315 - (41 \sqrt{137})) \cdot 4 - (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 19.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $315$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137} + (- 315 - (41 \sqrt{137})) \cdot 4 - (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 19.2.4.3

将 $41$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137} + (- 315 - 41 \sqrt{137}) \cdot 4 - (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 19.2.4.4

运用分配律。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137} - 315 \cdot 4 - 41 \sqrt{137} \cdot 4 - (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 19.2.4.5

将 $- 315$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137} - 1260 - 41 \sqrt{137} \cdot 4 - (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 19.2.4.6

将 $4$ 乘以 $- 41$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137} - 1260 - 164 \sqrt{137} - (73 + 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 19.2.4.7

运用分配律。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137} - 1260 - 164 \sqrt{137} + (- 1 \cdot 73 - (3 \sqrt{137})) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 19.2.4.8

将 $- 1$ 乘以 $73$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137} - 1260 - 164 \sqrt{137} + (- 73 - (3 \sqrt{137})) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 19.2.4.9

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137} - 1260 - 164 \sqrt{137} + (- 73 - 3 \sqrt{137}) \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 19.2.4.10

运用分配律。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137} - 1260 - 164 \sqrt{137} - 73 \cdot 64 - 3 \sqrt{137} \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 19.2.4.11

将 $- 73$ 乘以 $64$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137} - 1260 - 164 \sqrt{137} - 4672 - 3 \sqrt{137} \cdot 64 + 5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 19.2.4.12

将 $64$ 乘以 $- 3$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137} - 1260 - 164 \sqrt{137} - 4672 - 192 \sqrt{137} + 5 \cdot 512}{512}$

解题步骤 19.2.4.13

将 $5$ 乘以 $512$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{3281 + 219 \sqrt{137} - 1260 - 164 \sqrt{137} - 4672 - 192 \sqrt{137} + 2560}{512}$

解题步骤 19.2.5

化简项。

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解题步骤 19.2.5.1

从 $3281$ 中减去 $1260$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{2021 + 219 \sqrt{137} - 164 \sqrt{137} - 4672 - 192 \sqrt{137} + 2560}{512}$

解题步骤 19.2.5.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 19.2.5.2.1

从 $2021$ 中减去 $4672$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 2651 + 219 \sqrt{137} - 164 \sqrt{137} - 192 \sqrt{137} + 2560}{512}$

解题步骤 19.2.5.2.2

将 $- 2651$ 和 $2560$ 相加。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 91 + 219 \sqrt{137} - 164 \sqrt{137} - 192 \sqrt{137}}{512}$

解题步骤 19.2.5.3

从 $219 \sqrt{137}$ 中减去 $164 \sqrt{137}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 91 + 55 \sqrt{137} - 192 \sqrt{137}}{512}$

解题步骤 19.2.5.4

从 $55 \sqrt{137}$ 中减去 $192 \sqrt{137}$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 91 - 137 \sqrt{137}}{512}$

解题步骤 19.2.5.5

将 $- 91$ 重写为 $- 1 (91)$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 91 - 137 \sqrt{137}}{512}$

解题步骤 19.2.5.6

从 $- 137 \sqrt{137}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 1 \cdot 91 - (137 \sqrt{137})}{512}$

解题步骤 19.2.5.7

从 $- 1 (91) - (137 \sqrt{137})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = \frac{- 1 (91 + 137 \sqrt{137})}{512}$

解题步骤 19.2.5.8

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}) = - \frac{91 + 137 \sqrt{137}}{512}$

解题步骤 19.2.6

最终答案为 $- \frac{91 + 137 \sqrt{137}}{512}$ 。

$y = - \frac{91 + 137 \sqrt{137}}{512}$

解题步骤 20

这些是 $f (x) = x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} + 5$ 的局部极值。

$(0, 5)$ 是一个局部最大值

$(- \frac{3 - \sqrt{137}}{8}, - \frac{91 - 137 \sqrt{137}}{512})$ 是一个局部最小值

$(- \frac{3 + \sqrt{137}}{8}, - \frac{91 + 137 \sqrt{137}}{512})$ 是一个局部最小值

解题步骤 21

微积分学 示例

微积分学示例