微积分学示例

${(\frac{1}{x})}^{x}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 1.1

将 ${(\frac{1}{x})}^{x}$ 重写为 $e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})}]$

解题步骤 1.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln ({(\frac{1}{x})}^{x})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (\frac{1}{x})}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x \ln (\frac{1}{x})$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x \ln (\frac{1}{x})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{1}{x})]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{1}{x})]$

解题步骤 2.3

使用 $x \ln (\frac{1}{x})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{1}{x})]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (\frac{1}{x})$ 。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x \frac{d}{d x} [\ln (\frac{1}{x})] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

使用 $\frac{1}{x}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x (x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{1} x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{1} x^{1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{1 + 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 10

化简表达式。

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解题步骤 10.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 10.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{2} (- x^{- 2}) + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 12

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 12.1

移动 $x^{- 2}$ 。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{- 2} x^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 12.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 12.3

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (x^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 13

化简 $x^{0} \cdot - 1$ 。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (- 1 + \ln (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (- 1 + \ln (\frac{1}{x}) \cdot 1)$

解题步骤 15

将 $\ln (\frac{1}{x})$ 乘以 $1$ 。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} (- 1 + \ln (\frac{1}{x}))$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

运用分配律。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} \cdot - 1 + e^{x \ln (\frac{1}{x})} \ln (\frac{1}{x})$

解题步骤 16.2

合并项。

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解题步骤 16.2.1

将 $- 1$ 移到 $e^{x \ln (\frac{1}{x})}$ 的左侧。

$- 1 \cdot e^{x \ln (\frac{1}{x})} + e^{x \ln (\frac{1}{x})} \ln (\frac{1}{x})$

解题步骤 16.2.2

将 $- 1 e^{x \ln (\frac{1}{x})}$ 重写为 $- e^{x \ln (\frac{1}{x})}$ 。

$- e^{x \ln (\frac{1}{x})} + e^{x \ln (\frac{1}{x})} \ln (\frac{1}{x})$

解题步骤 16.3

重新排序项。

$e^{x \ln (\frac{1}{x})} \ln (\frac{1}{x}) - e^{x \ln (\frac{1}{x})}$

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