微积分学示例

$\tan^{4} (x)$

解题步骤 1

将 $\tan^{4} (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = \tan^{4} (x)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \tan^{4} (x) d x$

解题步骤 4

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} d x$

解题步骤 4.2

将 ${\tan (x)}^{2 (2)}$ 重写为乘方形式。

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} d x$

解题步骤 5

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (x)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (x)$ 的形式。

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} d x$

解题步骤 6

化简。

$\int 1 - 2 \sec^{2} (x) + \sec^{4} (x) d x$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d x + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$x + C + \int - 2 \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x$

解题步骤 9

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$x + C - 2 \int \sec^{2} (x) d x + \int \sec^{4} (x) d x$

解题步骤 10

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{4} (x) d x$

解题步骤 11

化简表达式。

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解题步骤 11.1

把 $4$ 重写为 $2$ 加 $2$

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

解题步骤 11.2

将 ${\sec (x)}^{2 + 2}$ 重写为 $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ 。

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 12

使用勾股定理，将 $\sec^{2} (x)$ 重写成 $1 + \tan^{2} (x)$ 的形式。

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 13

使 $u = \tan (x)$ 。然后使 $d u = \sec^{2} (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 13.1

设 $u = \tan (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 13.1.1

对 $\tan (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 13.1.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sec^{2} (x)$

解题步骤 13.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int 1 + u^{2} d u$

解题步骤 14

将单个积分拆分为多个积分。

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + \int d u + \int u^{2} d u$

解题步骤 15

应用常数不变法则。

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \int u^{2} d u$

解题步骤 16

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$x + C - 2 (\tan (x) + C) + u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

解题步骤 17

化简。

$x - 2 \tan (x) + u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

解题步骤 18

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x - 2 \tan (x) + \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$

解题步骤 19

将 $- 2 \tan (x)$ 和 $\tan (x)$ 相加。

$x - \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$

解题步骤 20

答案是函数 $f (x) = \tan^{4} (x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $x - \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$

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