微积分学示例

$\frac{x}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 1

将 $\frac{x}{\sin^{2} (x)}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{x}{\sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

乘以 $1$ 。

$\int \frac{x}{\sin^{2} (x) \cdot 1} d x$

解题步骤 4.2

分离分数。

$\int \frac{x}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$

解题步骤 4.3

将 $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ 转换成 $\csc^{2} (x)$ 。

$\int \frac{x}{1} \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 4.4

用 $x$ 除以 $1$ 。

$\int x \csc^{2} (x) d x$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \csc^{2} (x)$ 。

$x (- \cot (x)) - \int - \cot (x) d x$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x (- \cot (x)) - - \int \cot (x) d x$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x (- \cot (x)) + 1 \int \cot (x) d x$

解题步骤 7.2

将 $\int \cot (x) d x$ 乘以 $1$ 。

$x (- \cot (x)) + \int \cot (x) d x$

解题步骤 8

$\cot (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sin (x) |)$ 。

$x (- \cot (x)) + \ln (| \sin (x) |) + C$

解题步骤 9

将 $x (- \cot (x)) + \ln (| \sin (x) |) + C$ 重写为 $- x \cot (x) + \ln (| \sin (x) |) + C$ 。

$- x \cot (x) + \ln (| \sin (x) |) + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = \frac{x}{\sin^{2} (x)}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- x \cot (x) + \ln (| \sin (x) |) + C$

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