微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ on interval $- 2$ , $- 1$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.1.1.2.1

将 ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.1.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 1.1.1.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $2$ 移到 ${(x - 1)}^{2}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot {(x - 1)}^{2} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}]}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.3.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.4

求微分。

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解题步骤 1.1.1.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.4.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.4.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.4.5

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.4.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.4.5.2

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5

化简。

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解题步骤 1.1.1.5.1

运用分配律。

$\frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.5.2.1.1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$\frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 1.1.1.5.2.1.2.1

运用分配律。

$\frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.2.2

运用分配律。

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.2.3

运用分配律。

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.1.5.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.5.2.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.3.1.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.3.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.4

运用分配律。

$\frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.5

化简。

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解题步骤 1.1.1.5.2.1.5.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.6

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.7

化简。

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解题步骤 1.1.1.5.2.1.7.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1.5.2.1.7.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.7.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1.5.2.1.7.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.7.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.7.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.7.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1.5.2.1.7.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.7.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.8

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1.5.2.1.8.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.8.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1.5.2.1.8.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.8.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2.1.9

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2.2

合并 $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.1.5.2.2.1

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2.2.2

将 $- 4 x^{2} + 2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2.3

将 $- 4 x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.3

从 $- 2 x^{2} + 2 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 1.1.1.5.3.1

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.3.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.3.3

从 $2 x (- x) + 2 x (1)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.4

约去 $- x + 1$ 和 ${(x - 1)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.5.4.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.4.2

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{2 x (- (x) - 1 (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.4.3

从 $- (x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.4.4

将 $- (x - 1)$ 重写为 $- 1 (x - 1)$ 。

$\frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.4.5

从 $2 x (- 1 (x - 1))$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.4.6

约去公因数。

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解题步骤 1.1.1.5.4.6.1

从 ${(x - 1)}^{4}$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.1.5.4.6.2

约去公因数。

$\frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.1.5.4.6.3

重写表达式。

$\frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.1.5.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.1.5.6

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ 。

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$2 x = 0$

解题步骤 1.2.3

将 $2 x = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $2 x = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{2}$

解题步骤 1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x - 1)}^{3} = 0$

解题步骤 1.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 1.3.2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(0)}^{2}}{{((0) - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{{(0 - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.4.1.2.2

化简分母。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{1}$

解题步骤 1.4.1.2.3

用 $0$ 除以 $1$ 。

$0$

解题步骤 1.4.2

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(1)}^{2}}{{((1) - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{{(1)}^{2}}{0^{2}}$

解题步骤 1.4.2.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{{(1)}^{2}}{0}$

解题步骤 1.4.2.2.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(0, 0)$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在 $x = - 2$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入 $- 2$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(- 2)}^{2}}{{((- 2) - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2

化简。

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解题步骤 3.1.2.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4}{{(- 2 - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.2

化简分母。

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解题步骤 3.1.2.2.1

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{4}{{(- 3)}^{2}}$

解题步骤 3.1.2.2.2

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4}{9}$

解题步骤 3.2

在 $x = - 1$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(- 1)}^{2}}{{((- 1) - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

化简。

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解题步骤 3.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{{(- 1 - 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2.2

化简分母。

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解题步骤 3.2.2.2.1

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{{(- 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2.2.2

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{4}$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

$(- 2, \frac{4}{9}), (- 1, \frac{1}{4})$

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(- 2, \frac{4}{9})$

最小绝对值： $(- 1, \frac{1}{4})$

解题步骤 5

微积分学 示例

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